Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
x=\operatorname{sec} t, \quad y=t, \quad t \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x=\operatorname{sec} t,\qquad y=t,\qquad t\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right),
e pede duas coisas:
  • esboçar a curva no plano xy;
  • determinar a equação cartesiana da curva (ou seja, eliminar o parâmetro).
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • o parâmetro t é exatamente a coordenada y (pois y=t);
  • o intervalo de t é \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right), onde a função \operatorname{sec} t está bem definida e é positiva.

Passo 2

Estratégia simples para eliminar o parâmetro (mini-aula): se y=t, basta substituir t por y na expressão de x. Isso elimina o parâmetro diretamente. Além disso, convém analisar o comportamento da função trigonométrica envolvida ( \operatorname{sec}) no intervalo dado para entender domínio, imagem, simetrias e comportamento assintótico — esses itens guiam o esboço.
Lembrete sobre \operatorname{sec}: por definição \operatorname{sec} u=\dfrac{1}{\cos u}. No intervalo \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) vale \cos u>0, então \operatorname{sec} u>0. Em particular \cos 0=1 implica \operatorname{sec} 0=1.

Passo 3

Eliminar o parâmetro (passo direto):
y=t\quad\Rightarrow\quad x=\operatorname{sec} y.
Esta é a equação cartesiana mais direta: x=\operatorname{sec} y.
Podemos escrever formas equivalentes úteis:
\cos y=\frac{1}{x},
ou, usando a identidade \operatorname{sec}^2 y=1+\tan^2 y,
x^2=1+\tan^2 y\quad\Rightarrow\quad \tan^2 y = x^2-1.

Passo 4

Determinar domínio e restrições (mini-aula sobre domínio/imagem):
  • Como t\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) e y=t, a variável y também varia em \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).
  • Para y nesse intervalo temos \cos y\in(0,1], logo \dfrac{1}{x}=\cos y\in(0,1]. Portanto x\in[1,\infty).
  • Observação: o valor mínimo x=1 ocorre quando y=0 (pois \operatorname{sec} 0=1). Como t=0 pertence ao intervalo, o ponto (1,0) pertence à curva.

Passo 5

Analisar simetrias, monotonicidade e comportamento nas extremidades (mini-aulas rápidas):
  • Simetria: \operatorname{sec}(-y)=\operatorname{sec} y, então x(y) é uma função par de y. Isso implica que a curva é simétrica em relação ao eixo x (refletir y\to -y não altera x).
  • Monotonicidade para y>0: derivada (mini-aula de derivada) \frac{dx}{dy}=\frac{d}{dy}(\operatorname{sec} y)=\operatorname{sec} y\tan y.No intervalo 0<y<\frac{\pi}{2} tem-se \operatorname{sec} y>0 e \tan y>0, logo \dfrac{dx}{dy}>0: x cresce quando y aumenta em (0,\frac{\pi}{2}). Para -\frac{\pi}{2}<y<0 a tangente é negativa, então \dfrac{dx}{dy}<0: x decresce ao aproximar-se de y=0 vindo de baixo. Assim x tem mínimo em y=0.
  • Comportamento nas extremidades: quando y\to\pm\frac{\pi}{2} temos \cos y\to 0^+, portanto x=\operatorname{sec} y\to +\infty. Ou seja, a curva se projeta indefinidamente para a direita à medida que y se aproxima de \pm\frac{\pi}{2}.

Passo 6

Como esboçar a curva (passo-a-passo prático para fazer no caderno, sem calculadora):
  1. Marque o ponto mínimo (1,0).
  2. Para alguns valores de t (ou y) calcule pontos para orientar o traço:
    • y=0\Rightarrow x=\operatorname{sec} 0=1, ponto (1,0).
    • y=\frac{\pi}{6}\Rightarrow x=\operatorname{sec}\frac{\pi}{6}=\dfrac{1}{\cos\frac{\pi}{6}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}/2}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\approx1{,}155, ponto \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}},\frac{\pi}{6}\right).
    • y=\frac{\pi}{4}\Rightarrow x=\operatorname{sec}\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}\approx1{,}414, ponto (\sqrt{2},\frac{\pi}{4}).
    • Simetricamente para y=-\frac{\pi}{6},-\frac{\pi}{4} os x são os mesmos.
  3. Trace uma curva que tem o mínimo em (1,0), sobe para a direita conforme y aumenta até \frac{\pi}{2} e desce para a direita conforme y diminui até -\frac{\pi}{2}. À medida que y se aproxima de \pm\frac{\pi}{2} a curva vai para x\to+\infty.
  4. Marque os limites de y: a curva existe apenas para y\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). Em termos visuais, é uma “forma em U” aberta para a direita, com o vértice em (1,0) e ramos indo para a direita e para cima/baixo sem limite.

Passo 7

Resumo das formas equivalentes e observações finais:
  • Equação cartesiana mais direta: \displaystyle x=\operatorname{sec} y.
  • Equivalentes: \displaystyle \cos y=\frac{1}{x} ou \displaystyle \tan^2 y=x^2-1.
  • Domínio/intervalo para a curva: y\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) e x\in[1,\infty).
  • Forma geométrica: curva simétrica em relação ao eixo x, com mínimo em (1,0) e ramos que se estendem para a direita à medida que y\to\pm\frac{\pi}{2}.

Resposta

x=\operatorname{sec} y (equivalente a \cos y=\dfrac{1}{x}; também \tan^2 y=x^2-1), com y\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) e x\ge1.
Esboço: curva com vértice em (1,0), simétrica em relação ao eixo x, que cresce para a direita quando y se afasta de 0 e satisfaz x\to+\infty quando y\to\pm\dfrac{\pi}{2}.

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