Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
.
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas
e pede duas coisas:
- esboçar a curva no plano
; - determinar a equação cartesiana da curva (ou seja, eliminar o parâmetro).
Informações relevantes que já temos do enunciado:
- o parâmetro
é exatamente a coordenada (pois ); - o intervalo de
é , onde a função está bem definida e é positiva.
Passo 2
Estratégia simples para eliminar o parâmetro (mini-aula): se
, basta substituir
por
na expressão de
. Isso elimina o parâmetro diretamente. Além disso, convém analisar o comportamento da função trigonométrica envolvida (
) no intervalo dado para entender domínio, imagem, simetrias e comportamento assintótico — esses itens guiam o esboço.
Lembrete sobre
: por definição
. No intervalo
vale
, então
. Em particular
implica
.
Passo 3
Eliminar o parâmetro (passo direto):
Esta é a equação cartesiana mais direta:
.
Podemos escrever formas equivalentes úteis:
ou, usando a identidade
,
Passo 4
Determinar domínio e restrições (mini-aula sobre domínio/imagem):
- Como
e , a variável também varia em . - Para
nesse intervalo temos , logo . Portanto . - Observação: o valor mínimo
ocorre quando (pois ). Como pertence ao intervalo, o ponto pertence à curva.
Passo 5
Analisar simetrias, monotonicidade e comportamento nas extremidades (mini-aulas rápidas):
- Simetria:
, então é uma função par de . Isso implica que a curva é simétrica em relação ao eixo (refletir não altera ). - Monotonicidade para
: derivada (mini-aula de derivada) No intervalo tem-se e , logo : cresce quando aumenta em . Para a tangente é negativa, então : decresce ao aproximar-se de vindo de baixo. Assim tem mínimo em . - Comportamento nas extremidades: quando
temos , portanto . Ou seja, a curva se projeta indefinidamente para a direita à medida que se aproxima de .
Passo 6
Como esboçar a curva (passo-a-passo prático para fazer no caderno, sem calculadora):
- Marque o ponto mínimo
. - Para alguns valores de
(ou ) calcule pontos para orientar o traço: -
, ponto . -
, ponto . -
, ponto . - Simetricamente para
os são os mesmos.
-
- Trace uma curva que tem o mínimo em
, sobe para a direita conforme aumenta até e desce para a direita conforme diminui até . À medida que se aproxima de a curva vai para . - Marque os limites de
: a curva existe apenas para . Em termos visuais, é uma “forma em U” aberta para a direita, com o vértice em e ramos indo para a direita e para cima/baixo sem limite.
Passo 7
Resumo das formas equivalentes e observações finais:
- Equação cartesiana mais direta:
. - Equivalentes:
ou . - Domínio/intervalo para a curva:
e . - Forma geométrica: curva simétrica em relação ao eixo
, com mínimo em e ramos que se estendem para a direita à medida que .
Resposta
Esboço: curva com vértice em