Calcule a integral indefinida geral
\begin{aligned} \int\left(x^{\pi}+x^{e}\right) d x & \int x^{2}(x+1)^{2} d x \\\ \int\left(\operatorname{sen} x-e^{x}\right) d x & \int\left(1+\tan ^{2} \theta\right) d \theta \\\ \int 2^{t}\left(2+5^{t}\right) d t & \int \frac{\operatorname{sen} 2 x}{\cos x} d x \\\ \int_{0}^{1}\left(6 x^{2}-4 x+5\right) d x, & \int_{-3}^{3} \frac{1}{2}\left(x^{4}+\frac{1}{4} x^{3}-x\right) d x \\\ \int_{0}^{\pi}\left(3 e^{x}+4 \operatorname{sen} x\right) d x & \int_{-1}^{1} \frac{2 e^{x}}{\operatorname{senh} x+\operatorname{cosh} x} d x \\\ \int_{-1}^{1}(x-3|x|) d x, & \int_{-\pi}^{\pi}|\operatorname{sen} x| d x \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede calcular várias integrais (algumas indefinidas e outras definidas). Vou listar exatamente cada uma das integrais que precisamos resolver, na ordem em que aparecem (peguei literalmente do enunciado):
  1. \displaystyle \int\left(x^{\pi}+x^{e}\right) dx
  2. \displaystyle \int x^{2}(x+1)^{2} dx
  3. \displaystyle \int\left(\operatorname{sen} x-e^{x}\right) dx (aqui \operatorname{sen}x é o seno usual)
  4. \displaystyle \int\left(1+\tan^{2}\theta\right) d\theta
  5. \displaystyle \int 2^{t}\left(2+5^{t}\right) dt
  6. \displaystyle \int \frac{\operatorname{sen}2x}{\cos x} dx
  7. \displaystyle \int_{0}^{1}\left(6x^{2}-4x+5\right) dx
  8. \displaystyle \int_{-3}^{3} \frac{1}{2}\left(x^{4}+\frac{1}{4}x^{3}-x\right) dx
  9. \displaystyle \int_{0}^{\pi}\left(3e^{x}+4\operatorname{sen}x\right) dx
  10. \displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{2e^{x}}{\operatorname{senh}x+\operatorname{cosh} x} dx (aqui \operatorname{senh}x=\operatorname{sinh} x)
  11. \displaystyle \int_{-1}^{1}(x-3|x|)\,dx
  12. \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}|\operatorname{sen}x|\,dx
Informações úteis (fórmulas que usarei várias vezes):
\int x^{a}\,dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C\quad (a\neq-1),
\int e^{x}\,dx=e^{x}+C,\qquad \int a^{x}\,dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C\quad(a>0,a\neq1),
\int \sin x\,dx=-\cos x +C,\qquad \frac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^{2}x,
\sin 2x=2\sin x\cos x,\qquad \operatorname{sinh} x+\operatorname{cosh} x=e^{x}.

Passo 2

Resolver a integral 1: \displaystyle \int\left(x^{\pi}+x^{e}\right) dx.
Explicação do método: usamos a regra da potência para expoentes reais constantes. A regra diz que, para um número real a\neq-1,
\int x^{a}\,dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C,
onde C é a constante de integração. Aqui \pi e e são constantes reais.
Aplicando termo a termo:
\int x^{\pi}\,dx=\frac{x^{\pi+1}}{\pi+1}+C_1,\qquad \int x^{e}\,dx=\frac{x^{e+1}}{e+1}+C_2.
Somando e juntando constantes:
\int\left(x^{\pi}+x^{e}\right) dx=\frac{x^{\pi+1}}{\pi+1}+\frac{x^{e+1}}{e+1}+C.

Passo 3

Resolver a integral 2: \displaystyle \int x^{2}(x+1)^{2} dx.
Estratégia: podemos expandir o polinômio e integrar termo a termo — isto é mais direto do que uma substituição aqui.
Expandindo:
(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1,
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x^{2}(x+1)^{2}=x^{2}(x^{2}+2x+1)=x^{4}+2x^{3}+x^{2}.
Integramos termo a termo usando a regra da potência:
\int x^{4}dx=\frac{x^{5}}{5},\qquad \int 2x^{3}dx=2\cdot\frac{x^{4}}{4}=\frac{x^{4}}{2},\qquad \int x^{2}dx=\frac{x^{3}}{3}.
Portanto
\int x^{2}(x+1)^{2} dx=\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+C.

Passo 4

Resolver a integral 3: \displaystyle \int\left(\operatorname{sen} x-e^{x}\right) dx.
Regra usada: integra-se soma term a termo; \int \sin x\,dx=-\cos x e \int e^{x}\,dx=e^{x}.
Assim,
\int(\sin x - e^{x})\,dx=\int\sin x\,dx-\int e^{x}\,dx=-\cos x - e^{x}+C.

Passo 5

Resolver a integral 4: \displaystyle \int\left(1+\tan^{2}\theta\right) d\theta.
Identidade trigonométrica: \,1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta. Sabendo que \dfrac{d}{d\theta}\tan\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta, a integral é imediata:
\int(1+\tan^{2}\theta)\,d\theta=\int\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta=\tan\theta + C.

Passo 6

Resolver a integral 5: \displaystyle \int 2^{t}\left(2+5^{t}\right) dt.
Primeiro distribuímos:
2^{t}(2+5^{t})=2\cdot 2^{t} + 2^{t}5^{t}.
Observe que 2^{t}5^{t}=(2\cdot5)^{t}=10^{t}. Usamos a fórmula \int a^{t}dt=\dfrac{a^{t}}{\ln a}+C.
Integramos:
\int 2\cdot 2^{t}dt = 2\cdot\frac{2^{t}}{\ln 2},\qquad \int 10^{t}dt=\frac{10^{t}}{\ln 10}.
Portanto
\int 2^{t}\left(2+5^{t}\right) dt=2\frac{2^{t}}{\ln 2}+\frac{10^{t}}{\ln 10}+C.

Passo 7

Resolver a integral 6: \displaystyle \int \frac{\operatorname{sen}2x}{\cos x} dx.
Usar a identidade \sin 2x=2\sin x\cos x. Então
\frac{\sin 2x}{\cos x}=\frac{2\sin x\cos x}{\cos x}=2\sin x.
Logo a integral vira \int 2\sin x\,dx. Integrando:
\int 2\sin x\,dx=2\int\sin x\,dx=2(-\cos x)=-2\cos x + C.

Passo 8

Resolver a integral 7 (definida): \displaystyle \int_{0}^{1}\left(6x^{2}-4x+5\right) dx.
Integramos termo a termo:
\int 6x^{2}dx=2x^{3},\qquad \int -4x\,dx=-2x^{2},\qquad \int 5\,dx=5x.
A antiderivada é F(x)=2x^{3}-2x^{2}+5x. Avaliando de 0 a 1:
F(1)-F(0)=(2-2+5)-0=5.
Portanto o valor da integral definida é 5.

Passo 9

Resolver a integral 8 (definida): \displaystyle \int_{-3}^{3} \frac{1}{2}\left(x^{4}+\frac{1}{4}x^{3}-x\right) dx.
Observação sobre paridade: x^{4} é função par (simétrica), x^{3} e x são ímpares. Integrais de funções ímpares em intervalo simétrico [-a,a] valem zero. Assim os termos com x^{3} e x não contribuem.
Logo apenas o termo com x^{4} permanece:
\int_{-3}^{3}\frac{1}{2}x^{4}dx=\frac{1}{2}\cdot 2\int_{0}^{3}x^{4}dx=\int_{0}^{3}x^{4}dx.
Integramos:
\int_{0}^{3}x^{4}dx=\left.\frac{x^{5}}{5}\right|_{0}^{3}=\frac{3^{5}}{5}=\frac{243}{5}.
Portanto a integral vale \dfrac{243}{5}.

Passo 10

Resolver a integral 9 (definida): \displaystyle \int_{0}^{\pi}\left(3e^{x}+4\operatorname{sen}x\right) dx.
Antiderivada:
\int 3e^{x}dx=3e^{x},\qquad \int 4\sin x\,dx=-4\cos x.
Portanto F(x)=3e^{x}-4\cos x. Avaliando:
F(\pi)-F(0)=(3e^{\pi}-4\cos\pi)-(3e^{0}-4\cos 0)=(3e^{\pi}+4)-(3-4)=3e^{\pi}+4-3+4=3e^{\pi}+5.
Assim o valor da integral é 3e^{\pi}+5.

Passo 11

Resolver a integral 10 (definida): \displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{2e^{x}}{\operatorname{senh}x+\operatorname{cosh} x} dx.
Usar as definições das funções hiperbólicas:
\operatorname{sinh} x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2},\qquad \operatorname{cosh} x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.
Somando:
\operatorname{sinh} x+\operatorname{cosh} x=\frac{e^{x}-e^{-x}+e^{x}+e^{-x}}{2}=\frac{2e^{x}}{2}=e^{x}.
Portanto o integrando simplifica:
\frac{2e^{x}}{\operatorname{sinh} x+\operatorname{cosh} x}=\frac{2e^{x}}{e^{x}}=2.
A integral fica \int_{-1}^{1}2\,dx=2\cdot(1-(-1))=2\cdot 2=4.

Passo 12

Resolver a integral 11 (definida): \displaystyle \int_{-1}^{1}(x-3|x|)\,dx.
Separemos:
\int_{-1}^{1}x\,dx=0
porque x é função ímpar em intervalo simétrico. Para |x| (função par),
\int_{-1}^{1}|x|\,dx=2\int_{0}^{1}x\,dx=2\cdot\frac{1}{2}=1.
Logo
\int_{-1}^{1}(x-3|x|)\,dx=0-3\cdot 1=-3.

Passo 13

Resolver a integral 12 (definida): \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}|\operatorname{sen}x|\,dx.
Como |\sin x| é par e \sin x é positivo em (0,\pi) e negativo em (-\pi,0), temos
\int_{-\pi}^{\pi}|\sin x|\,dx=2\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx.
Integrando:
\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=[- \cos x]_{0}^{\pi}= -\cos\pi +\cos 0 = -(-1)+1=2.
Multiplicando por 2:
\int_{-\pi}^{\pi}|\sin x|\,dx=2\cdot 2=4.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{\pi+1}}{\pi+1}+\frac{x^{e+1}}{e+1}+C
\displaystyle \frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+C
\displaystyle -\cos x - e^{x}+C
\displaystyle \tan\theta + C
\displaystyle 2\frac{2^{t}}{\ln 2}+\frac{10^{t}}{\ln 10}+C
\displaystyle -2\cos x + C
\displaystyle 5
\displaystyle \frac{243}{5}
\displaystyle 3e^{\pi}+5
\displaystyle 4
\displaystyle -3
\displaystyle 4

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