\begin{aligned} \int\left(x^{\pi}+x^{e}\right) d x & \int x^{2}(x+1)^{2} d x \\\ \int\left(\operatorname{sen} x-e^{x}\right) d x & \int\left(1+\tan ^{2} \theta\right) d \theta \\\ \int 2^{t}\left(2+5^{t}\right) d t & \int \frac{\operatorname{sen} 2 x}{\cos x} d x \\\ \int_{0}^{1}\left(6 x^{2}-4 x+5\right) d x, & \int_{-3}^{3} \frac{1}{2}\left(x^{4}+\frac{1}{4} x^{3}-x\right) d x \\\ \int_{0}^{\pi}\left(3 e^{x}+4 \operatorname{sen} x\right) d x & \int_{-1}^{1} \frac{2 e^{x}}{\operatorname{senh} x+\operatorname{cosh} x} d x \\\ \int_{-1}^{1}(x-3|x|) d x, & \int_{-\pi}^{\pi}|\operatorname{sen} x| d x \end{aligned}
Passo 1
O enunciado pede calcular várias integrais (algumas indefinidas e outras definidas). Vou listar exatamente cada uma das integrais que precisamos resolver, na ordem em que aparecem (peguei literalmente do enunciado):
\displaystyle \int\left(x^{\pi}+x^{e}\right) dx
\displaystyle \int x^{2}(x+1)^{2} dx
\displaystyle \int\left(\operatorname{sen} x-e^{x}\right) dx (aqui \operatorname{sen}x é o seno usual)
Resolver a integral 3: \displaystyle \int\left(\operatorname{sen} x-e^{x}\right) dx.
Regra usada: integra-se soma term a termo; \int \sin x\,dx=-\cos x e \int e^{x}\,dx=e^{x}.
Assim,
\int(\sin x - e^{x})\,dx=\int\sin x\,dx-\int e^{x}\,dx=-\cos x - e^{x}+C.
Passo 5
Resolver a integral 4: \displaystyle \int\left(1+\tan^{2}\theta\right) d\theta.
Identidade trigonométrica: \,1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta. Sabendo que \dfrac{d}{d\theta}\tan\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta, a integral é imediata:
\int(1+\tan^{2}\theta)\,d\theta=\int\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta=\tan\theta + C.
Passo 6
Resolver a integral 5: \displaystyle \int 2^{t}\left(2+5^{t}\right) dt.
Primeiro distribuímos:
2^{t}(2+5^{t})=2\cdot 2^{t} + 2^{t}5^{t}.
Observe que 2^{t}5^{t}=(2\cdot5)^{t}=10^{t}. Usamos a fórmula \int a^{t}dt=\dfrac{a^{t}}{\ln a}+C.
A antiderivada é F(x)=2x^{3}-2x^{2}+5x. Avaliando de 0 a 1:
F(1)-F(0)=(2-2+5)-0=5.
Portanto o valor da integral definida é 5.
Passo 9
Resolver a integral 8 (definida): \displaystyle \int_{-3}^{3} \frac{1}{2}\left(x^{4}+\frac{1}{4}x^{3}-x\right) dx.
Observação sobre paridade: x^{4} é função par (simétrica), x^{3} e x são ímpares. Integrais de funções ímpares em intervalo simétrico [-a,a] valem zero. Assim os termos com x^{3} e x não contribuem.