Calcule a integral dupla. \iint_{R} \frac{x y \operatorname{sen} x}{1+4 y^{2}} d A, onde R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \left\lvert\, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right., 0 \leq y \leq \frac{1}{2}\right\}. GAB: \frac{\ln \mathbf{2}}{8}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \frac{x y \operatorname{sen} x}{1+4 y^{2}}\,dA,
onde R é o retângulo dado por 0 \leq x \leq \dfrac{\pi}{2} e 0 \leq y \leq \dfrac{1}{2}.
Informações relevantes:
A região R é um produto de intervalos: R=[0,\tfrac{\pi}{2}]\times[0,\tfrac{1}{2}].
O integrando é \dfrac{x y \operatorname{sen} x}{1+4 y^{2}}.
O que se pede é o valor numérico da integral dupla sobre esse retângulo.
Passo 2
Observação útil sobre a forma do integrando: ele pode ser escrito como produto de uma função só de x por uma função só de y. Veja:
\frac{x y \operatorname{sen} x}{1+4 y^{2}} = \bigl(x\operatorname{sen} x\bigr)\cdot\frac{y}{1+4y^{2}}.
Quando a região de integração é um retângulo e o integrando se separa em f(x)g(y), vale que a integral dupla se separa como produto de integrais simples:
Aqui é natural usar substituição. Defina t=1+4y^{2}. Então dt=8y\,dy, ou seja y\,dy=\dfrac{dt}{8}. Quando y=0 temos t=1; quando y=\tfrac{1}{2} temos t=1+4\cdot(\tfrac{1}{2})^{2}=2. Substituindo: