Calcule a integral dupla.
\iint_{R} \frac{x y \operatorname{sen} x}{1+4 y^{2}} d A, onde R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \left\lvert\, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right., 0 \leq y \leq \frac{1}{2}\right\}. GAB:
\frac{\ln \mathbf{2}}{8}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \frac{x y \operatorname{sen} x}{1+4 y^{2}}\,dA,
onde R é o retângulo dado por 0 \leq x \leq \dfrac{\pi}{2} e 0 \leq y \leq \dfrac{1}{2}.
Informações relevantes:
  • A região R é um produto de intervalos: R=[0,\tfrac{\pi}{2}]\times[0,\tfrac{1}{2}].
  • O integrando é \dfrac{x y \operatorname{sen} x}{1+4 y^{2}}.
  • O que se pede é o valor numérico da integral dupla sobre esse retângulo.

Passo 2

Observação útil sobre a forma do integrando: ele pode ser escrito como produto de uma função só de x por uma função só de y. Veja:
\frac{x y \operatorname{sen} x}{1+4 y^{2}} = \bigl(x\operatorname{sen} x\bigr)\cdot\frac{y}{1+4y^{2}}.
Quando a região de integração é um retângulo e o integrando se separa em f(x)g(y), vale que a integral dupla se separa como produto de integrais simples:
\iint_{[a,b]\times[c,d]} f(x)g(y)\,dA = \left(\int_a^b f(x)\,dx\right)\left(\int_c^d g(y)\,dy\right).
Portanto definimos
I=\iint_{R}\frac{x y \operatorname{sen} x}{1+4 y^{2}}\,dA = \left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\operatorname{sen} x\,dx\right) \left(\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{y}{1+4y^{2}}\,dy\right).

Passo 3

Cálculo da integral em x:
I_x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\operatorname{sen} x\,dx.
Usamos integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde escolhemos u=x (então du=dx) e dv=\operatorname{sen} x\,dx (então v=-\cos x). Aplicando:
\int x\operatorname{sen} x\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx = -x\cos x + \operatorname{sen} x + C.
Agora avaliamos em 0 e \tfrac{\pi}{2}:
I_x = \bigl(-x\cos x + \operatorname{sen} x\bigr)\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \bigl(-\tfrac{\pi}{2}\cos\tfrac{\pi}{2} + \operatorname{sen}\tfrac{\pi}{2}\bigr) - \bigl( -0\cdot\cos 0 + \operatorname{sen}0\bigr).
Como \cos\tfrac{\pi}{2}=0, \operatorname{sen}\tfrac{\pi}{2}=1 e \operatorname{sen}0=0, obtemos
I_x = 0 + 1 - 0 = 1.

Passo 4

Cálculo da integral em y:
I_y=\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{y}{1+4y^{2}}\,dy.
Aqui é natural usar substituição. Defina t=1+4y^{2}. Então dt=8y\,dy, ou seja y\,dy=\dfrac{dt}{8}. Quando y=0 temos t=1; quando y=\tfrac{1}{2} temos t=1+4\cdot(\tfrac{1}{2})^{2}=2. Substituindo:
I_y = \int_{t=1}^{2} \frac{1}{t}\cdot\frac{dt}{8} = \frac{1}{8}\int_{1}^{2}\frac{dt}{t}.
A integral de 1/t é o logaritmo natural, então
I_y = \frac{1}{8}\bigl(\ln t\bigr)\Big|_{1}^{2} = \frac{1}{8}\bigl(\ln 2 - \ln 1\bigr)=\frac{1}{8}\ln 2,
pois \ln 1=0.

Passo 5

Agora multiplicamos os dois resultados:
I = I_x\cdot I_y = 1\cdot\frac{1}{8}\ln 2 = \frac{\ln 2}{8}.
Portanto a integral dupla vale \dfrac{\ln 2}{8}.

Resposta

\dfrac{\ln 2}{8}

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