Se
é contínua em
e
. Determine
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Foi dada uma função
contínua em . - Foi dada a função
definida por para próximos de . - O que se pede: calcular
, isto é, a derivada de no ponto .
Passo 2
Calcular o valor de
em
(útil para a definição da derivada).
Substituindo em
:
Substituindo
Passo 3
Recordar a definição de derivada no ponto
.
A derivada é o limite (se existir)
A derivada
Aqui já sabemos que
, então essa fórmula fica mais simples.
Passo 4
Substituir
e
na diferença quociente e simplificar algebricamente.
Fatorando
como produto de conjugados:
Logo, para
,
Portanto a diferença quociente vale
para todos
.
Passo 5
Passar ao limite usando continuidade de
.
Como é contínua em
, tem-se
. Também
. Usando a propriedade do limite do produto (produtos de limites existem),
Como
Passo 6
Interpretação final e observações rápidas.
- Assim
. - Observação: não foi necessário supor que
é diferenciável em ; bastou a continuidade para poder passar o limite por . - Exemplo simples: se
então .