Se g é contínua em a e f(x)=\left(x^{2}-a^{2}\right) g(x). Determine f^{\prime}(a).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Foi dada uma função g contínua em a.
  • Foi dada a função f definida por f(x)=\left(x^{2}-a^{2}\right)g(x) para x próximos de a.
  • O que se pede: calcular f^{\prime}(a), isto é, a derivada de f no ponto x=a.

Passo 2

Calcular o valor de f em a (útil para a definição da derivada).
Substituindo x=a em f(x):
f(a)=\bigl(a^{2}-a^{2}\bigr)g(a)=0\cdot g(a)=0.

Passo 3

Recordar a definição de derivada no ponto a.
A derivada f^{\prime}(a) é o limite (se existir)
f^{\prime}(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
Aqui já sabemos que f(a)=0, então essa fórmula fica mais simples.

Passo 4

Substituir f(x) e f(a) na diferença quociente e simplificar algebricamente.
\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{\bigl(x^{2}-a^{2}\bigr)g(x)-0}{x-a}=\frac{\bigl(x^{2}-a^{2}\bigr)g(x)}{x-a}.
Fatorando x^{2}-a^{2} como produto de conjugados:
x^{2}-a^{2}=(x-a)(x+a).
Logo, para x\neq a,
\frac{\bigl(x^{2}-a^{2}\bigr)g(x)}{x-a}=\frac{(x-a)(x+a)g(x)}{x-a}=(x+a)g(x).
Portanto a diferença quociente vale (x+a)g(x) para todos x\neq a.

Passo 5

Passar ao limite usando continuidade de g.
Como g é contínua em a, tem-se \displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=g(a). Também \displaystyle\lim_{x\to a}(x+a)=a+a=2a. Usando a propriedade do limite do produto (produtos de limites existem),
f^{\prime}(a)=\lim_{x\to a}(x+a)g(x)=\bigl(\lim_{x\to a}(x+a)\bigr)\bigl(\lim_{x\to a}g(x)\bigr)=2a\cdot g(a).

Passo 6

Interpretação final e observações rápidas.
  • Assim f^{\prime}(a)=2a\,g(a).
  • Observação: não foi necessário supor que g é diferenciável em a; bastou a continuidade para poder passar o limite por g.
  • Exemplo simples: se a=0 então f^{\prime}(0)=0\cdot g(0)=0.

Resposta

2a\,g(a)

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