Calcule a integral dupla \iint\left(\frac{y}{x^{5}+1}\right) d A, \operatorname{com} D:\left\{x, y / 1 \leq x \leq e, 0 \leq y \leq x^{2}\right\}.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado fornece a integral dupla
\iint_{D}\frac{y}{x^{5}+1}\,dA
com a região
D=\{(x,y)\mid 1\le x\le e,\;0\le y\le x^{2}\}.
  • O que se pede: calcular o valor numérico da integral dupla acima.

Passo 2

Vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada (integrando primeiro em y e depois em x). A função \dfrac{y}{x^{5}+1} é contínua em D (denominador não nulo para x\ge1), logo a integral iterada vale a integral dupla. Assim
\iint_{D}\frac{y}{x^{5}+1}\,dA=\int_{x=1}^{e}\left(\int_{y=0}^{x^{2}}\frac{y}{x^{5}+1}\,dy\right)dx.
Agora calculo a integral interna em y. Note que, para x fixo, o denominador \;x^{5}+1\; é constante em relação a y, então posso fatorá-lo:
\int_{y=0}^{x^{2}}\frac{y}{x^{5}+1}\,dy=\frac{1}{x^{5}+1}\int_{0}^{x^{2}}y\,dy.
Faço a integral simples \int_{0}^{x^{2}}y\,dy. Usando a primitiva y^{2}/2,
\int_{0}^{x^{2}}y\,dy=\left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{x^{2}}=\frac{(x^{2})^{2}}{2}=\frac{x^{4}}{2}.
Portanto a integral interna fica
\int_{y=0}^{x^{2}}\frac{y}{x^{5}+1}\,dy=\frac{1}{x^{5}+1}\cdot\frac{x^{4}}{2}=\frac{x^{4}}{2\,(x^{5}+1)}.

Passo 3

Substituo o resultado da integral interna na integral externa e obtenho uma integral em x só:
\iint_{D}\frac{y}{x^{5}+1}\,dA=\int_{1}^{e}\frac{x^{4}}{2(x^{5}+1)}\,dx=\frac{1}{2}\int_{1}^{e}\frac{x^{4}}{x^{5}+1}\,dx.
Para calcular \displaystyle \int\frac{x^{4}}{x^{5}+1}\,dx faço a substituição típica para esse tipo de racional com x^{5} no denominador. Defino
u=x^{5}+1.
Então
du=5x^{4}\,dx\quad\Rightarrow\quad x^{4}\,dx=\frac{du}{5}.
Assim a integral torna-se
\frac{1}{2}\int_{1}^{e}\frac{x^{4}}{x^{5}+1}\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}\int_{u(1)}^{u(e)}\frac{1}{u}\,du=\frac{1}{10}\int_{u(1)}^{u(e)}\frac{1}{u}\,du.
Calculo os limites em u:
u(1)=1^{5}+1=2,\qquad u(e)=e^{5}+1.

Passo 4

A integral \displaystyle \int_{2}^{e^{5}+1}\frac{1}{u}\,du é \ln|u| avaliada nos limites. Como u>0 para esses valores,
\frac{1}{10}\int_{2}^{e^{5}+1}\frac{1}{u}\,du=\frac{1}{10}\left[\ln u\right]_{2}^{e^{5}+1}=\frac{1}{10}\ln\!\left(\frac{e^{5}+1}{2}\right).
Portanto o valor da integral dupla é \dfrac{1}{10}\ln\!\left(\dfrac{e^{5}+1}{2}\right).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{10}\ln\!\left(\frac{e^{5}+1}{2}\right)

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