Calcule as integrais duplas abaixo:
\quad \int_{0}^{2} \int_{x^{2}}^{2 x}\left(x^{3}+4 y\right) d y d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\int_{0}^{2} \int_{x^{2}}^{2 x}\left(x^{3}+4 y\right)\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A variável externa é x com intervalo [0,2].
  • Para cada x nesse intervalo, a variável interna y varia de y=x^{2} até y=2x.
  • O integrando é a função x^{3}+4y.
    A tarefa é avaliar a integral iterada na ordem indicada: primeiro integrar em y (mantendo x fixo) e depois integrar o resultado em x.

Passo 2

Estratégia e conceitos usados (explicação didática):
  • Em uma integral iterada \int_{a}^{b}\!\left(\int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y)\,dy\right)dx, ao integrar em y tratamos x como constante. Isso vale quando f é contínua (aqui é polinomial, portanto contínua).
  • Regras que vou usar:
    • Linearidade: \int (A+B)\,dy = \int A\,dy + \int B\,dy.
    • Constante em relação a y: se x é fixo então \int x^{3}\,dy = x^{3}\int 1\,dy = x^{3}y.
    • Regra do poder: para n\neq -1, \displaystyle \int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1}. Exemplo rápido: \int (3+2y)\,dy = 3y + y^{2} (porque \int 2y\,dy = 2\cdot \frac{y^{2}}{2}=y^{2}).
      Vou aplicar essas regras para calcular primeiro a integral interna em y.

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
\int_{x^{2}}^{2x}\left(x^{3}+4y\right)\,dy
Aplicando linearidade e as regras acima:
\int_{x^{2}}^{2x} x^{3}\,dy + \int_{x^{2}}^{2x} 4y\,dy = \bigl[x^{3}y\bigr]_{y=x^{2}}^{y=2x} + \bigl[2y^{2}\bigr]_{y=x^{2}}^{y=2x}.
Aqui usei \int x^{3}\,dy = x^{3}y e \int 4y\,dy = 4\cdot \frac{y^{2}}{2}=2y^{2}.

Passo 4

Avaliar as expressões nos limites e simplificar:
\bigl[x^{3}y\bigr]_{x^{2}}^{2x} = x^{3}(2x) - x^{3}(x^{2}) = 2x^{4} - x^{5},
\bigl[2y^{2}\bigr]_{x^{2}}^{2x} = 2(2x)^{2} - 2(x^{2})^{2} = 2\cdot 4x^{2} - 2x^{4} = 8x^{2} - 2x^{4}.
Somando os dois resultados:
(2x^{4} - x^{5}) + (8x^{2} - 2x^{4}) = -x^{5} + 8x^{2}.
Portanto a integral interna reduz a uma função de x:
\int_{x^{2}}^{2x}\left(x^{3}+4y\right)\,dy = -x^{5} + 8x^{2}.

Passo 5

Agora integrar a função obtida em x no intervalo [0,2]:
\int_{0}^{2}\left(-x^{5}+8x^{2}\right)\,dx.
Usando a regra do poder para antiderivadas ( \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1) e a linearidade:
\int \left(-x^{5}+8x^{2}\right)\,dx = -\frac{x^{6}}{6} + 8\cdot\frac{x^{3}}{3} + C = -\frac{x^{6}}{6} + \frac{8x^{3}}{3} + C.

Passo 6

Avaliar a primitiva nos limites de 0 a 2:
\left[-\frac{x^{6}}{6} + \frac{8x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \left(-\frac{2^{6}}{6} + \frac{8\cdot 2^{3}}{3}\right) - \left(-\frac{0^{6}}{6} + \frac{8\cdot 0^{3}}{3}\right).
Calcular os termos:
-\frac{2^{6}}{6} = -\frac{64}{6},\qquad \frac{8\cdot 2^{3}}{3}=\frac{8\cdot 8}{3}=\frac{64}{3}.
Somando com denominação comum 6:
-\frac{64}{6} + \frac{64}{3} = -\frac{64}{6} + \frac{128}{6} = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}.
O termo em 0 é 0. Logo a integral vale \dfrac{32}{3}.

Passo 7

Comentário final e checagem rápida (motivacional): o resultado \dfrac{32}{3} faz sentido — a função integranda é não negativa na região de integração (para x\in[0,2] temos x^{2}\le 2x e x^{3}+4y\ge 0), então esperar um valor positivo é coerente. Bom trabalho por encarar essa integral — você já sabe os passos essenciais para resolver integrais iteradas parecidas!

Resposta

\dfrac{32}{3}

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