Calcule as integrais duplas abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
Informações dadas:
- A variável externa é
com intervalo . - Para cada
nesse intervalo, a variável interna varia de até . - O integrando é a função
.
A tarefa é avaliar a integral iterada na ordem indicada: primeiro integrar em(mantendo fixo) e depois integrar o resultado em .
Passo 2
Estratégia e conceitos usados (explicação didática):
- Em uma integral iterada
, ao integrar em tratamos como constante. Isso vale quando é contínua (aqui é polinomial, portanto contínua). - Regras que vou usar:
- Linearidade:
. - Constante em relação a
: se é fixo então . - Regra do poder: para
, . Exemplo rápido: (porque ).
Vou aplicar essas regras para calcular primeiro a integral interna em.
- Linearidade:
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
Aplicando linearidade e as regras acima:
Aqui usei
e
.
Passo 4
Avaliar as expressões nos limites e simplificar:
Somando os dois resultados:
Portanto a integral interna reduz a uma função de
:
Passo 5
Agora integrar a função obtida em
no intervalo
:
Usando a regra do poder para antiderivadas (
para
) e a linearidade:
Passo 6
Avaliar a primitiva nos limites de
a
:
Calcular os termos:
Somando com denominação comum
:
O termo em
é
. Logo a integral vale
.
Passo 7
Comentário final e checagem rápida (motivacional): o resultado
faz sentido — a função integranda é não negativa na região de integração (para
temos
e
), então esperar um valor positivo é coerente. Bom trabalho por encarar essa integral — você já sabe os passos essenciais para resolver integrais iteradas parecidas!