Calcule as integrais indefinidas:
\int\left(\frac{2}{x^{3 / 4}}-\frac{3}{x^{2} / 3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\left(\frac{2}{x^{3/4}}-\frac{3}{x^{2/3}}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A integranda é composta por duas parcelas com potências de x.
  • Não há limites: é uma integral indefinida, então o resultado terá uma constante de integração C.
  • Vou interpretar os expoentes como \tfrac{3}{4} e \tfrac{2}{3} (ou seja, x^{3/4} e x^{2/3}), pois esse é o formato usual quando se escreve x^{3 / 4} e x^{2 / 3}.

Passo 2

Reescrever cada termo como potência de x com expoente em forma de número real, porque fica mais fácil aplicar a regra de integração:
\frac{2}{x^{3/4}} = 2x^{-3/4},\qquad \frac{3}{x^{2/3}} = 3x^{-2/3}.
Logo a integral fica
\int\left(2x^{-3/4}-3x^{-2/3}\right)\,dx.

Passo 3

Lembrar a regra básica de potências para integrais (essa é a “fórmula mágica” que usamos aqui):
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde n é um número real qualquer com n\neq -1. Nesta fórmula:
  • x é a variável de integração;
  • n é o expoente da potência;
  • C é a constante de integração.
    Nós vamos aplicar essa regra termo a termo, já que a integral de uma soma é a soma das integrais.

Passo 4

Integrar o primeiro termo 2x^{-3/4}.
  • Aqui n=-\tfrac{3}{4}.
  • Calcular n+1 = -\tfrac{3}{4}+1 = \tfrac{1}{4}.
  • Aplicando a fórmula:
\int 2x^{-3/4}\,dx = 2\cdot\frac{x^{1/4}}{1/4} = 2\cdot 4x^{1/4} = 8x^{1/4}.
Explicando a conta: dividir por 1/4 é multiplicar por 4.

Passo 5

Integrar o segundo termo -3x^{-2/3}.
  • Aqui n=-\tfrac{2}{3}.
  • Calcular n+1 = -\tfrac{2}{3}+1 = \tfrac{1}{3}.
  • Aplicando a fórmula:
\int -3x^{-2/3}\,dx = -3\cdot\frac{x^{1/3}}{1/3} = -3\cdot 3x^{1/3} = -9x^{1/3}.
Novamente: dividir por 1/3 é multiplicar por 3.

Passo 6

Somar os resultados parciais e acrescentar a constante de integração C:
\int\left(\frac{2}{x^{3/4}}-\frac{3}{x^{2/3}}\right)\,dx = 8x^{1/4}-9x^{1/3}+C.

Passo 7

Verificação rápida (diferenciando o resultado para checar se volta à integranda):
  • Diferenciando 8x^{1/4} obtém-se 8\cdot\tfrac{1}{4}x^{-3/4}=2x^{-3/4}=\dfrac{2}{x^{3/4}}.
  • Diferenciando -9x^{1/3} obtém-se -9\cdot\tfrac{1}{3}x^{-2/3}=-3x^{-2/3}=-\dfrac{3}{x^{2/3}}.
    Somando as duas derivadas retorna exatamente a integranda, então o resultado está correto.

Resposta

8x^{1/4}-9x^{1/3}+C

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