Calcule as integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A integranda é composta por duas parcelas com potências de
. - Não há limites: é uma integral indefinida, então o resultado terá uma constante de integração
. - Vou interpretar os expoentes como
e (ou seja, e ), pois esse é o formato usual quando se escreve e .
Passo 2
Reescrever cada termo como potência de
com expoente em forma de número real, porque fica mais fácil aplicar a regra de integração:
Logo a integral fica
Passo 3
Lembrar a regra básica de potências para integrais (essa é a “fórmula mágica” que usamos aqui):
onde
é um número real qualquer com
. Nesta fórmula:
-
é a variável de integração; -
é o expoente da potência; -
é a constante de integração.
Nós vamos aplicar essa regra termo a termo, já que a integral de uma soma é a soma das integrais.
Passo 4
Integrar o primeiro termo
.
- Aqui
. - Calcular
. - Aplicando a fórmula:
Explicando a conta: dividir por
é multiplicar por
.
Passo 5
Integrar o segundo termo
.
- Aqui
. - Calcular
. - Aplicando a fórmula:
Novamente: dividir por
é multiplicar por
.
Passo 6
Somar os resultados parciais e acrescentar a constante de integração
:
Passo 7
Verificação rápida (diferenciando o resultado para checar se volta à integranda):
- Diferenciando
obtém-se . - Diferenciando
obtém-se .
Somando as duas derivadas retorna exatamente a integranda, então o resultado está correto.