Calcule a integral dupla
\int_{R} \int\left(6 x^{2}-2 x\right) d A
onde R é a região retangular 1 \leq x \leq 4 \mathrm{e} 0 \leq y \leq 2.
180
120
144
222
312

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{R}(6x^{2}-2x)\,dA
sobre o retângulo R\colon1\le x\le4,\;0\le y\le2. Vamos usar o Teorema de Fubini para transformar em integral iterada e integrar primeiro em y.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini,
\iint_{R}(6x^{2}-2x)\,dA =\int_{x=1}^{4}\!\int_{y=0}^{2}(6x^{2}-2x)\,dy\,dx.
Como o integrando não depende de y,
\int_{y=0}^{2}(6x^{2}-2x)\,dy =(6x^{2}-2x)\bigl[y\bigr]_{0}^{2} =2\,(6x^{2}-2x) =12x^{2}-4x.

Passo 3

Agora avaliamos
\int_{1}^{4}(12x^{2}-4x)\,dx.
Uma antiderivada é
4x^{3}-2x^{2},
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\bigl[4x^{3}-2x^{2}\bigr]_{1}^{4} =(4\cdot64-2\cdot16)-(4\cdot1-2\cdot1) =(256-32)-(4-2) =224-2 =222.

Resposta

222

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