Calcule a integral dupla
\int_{R} \int x^{2} y d A
onde R é a região do 1 ㅇ quadrante do plano Cartesiano delimitada pelos eixos coordenados e pela circunferência x^{2}+y^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla
\iint_{R} x^{2}y\,dA
onde R é a parte do primeiro quadrante limitada pelos eixos x\ge0, y\ge0 e pela circunferência x^{2}+y^{2}=9. Como a região é circular, o mais prático é usar coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad dA = r\,dr\,d\theta.
Na primeira quadrante, \theta varia de 0 a \tfrac{\pi}{2} e r de 0 a 3.

Passo 3

Substituindo na integral:
\iint_{R} x^{2}y\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{3} (r\cos\theta)^{2}\,(r\sin\theta)\;r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{3}r^{4}\cos^{2}\theta\,\sin\theta\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculemos primeiro a parte radial:
\int_{0}^{3}r^{4}\,dr = \left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{3} = \frac{3^{5}}{5} = \frac{243}{5}.

Passo 5

Agora a parte angular:
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,\sin\theta\,d\theta.
Use u=\cos\theta, du=-\sin\theta\,d\theta. Quando \theta=0, u=1; quando \theta=\tfrac{\pi}{2}, u=0. Então
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,\sin\theta\,d\theta = -\int_{1}^{0}u^{2}\,du = \int_{0}^{1}u^{2}\,du = \left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}.

Passo 6

Multiplicando as duas partes:
\frac{243}{5}\times\frac{1}{3} = \frac{243}{15} = \frac{81}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{81}{5}

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