Calcule a integral dupla
onde
é a região do 1 ㅇ quadrante do plano Cartesiano delimitada pelos eixos coordenados e pela circunferência
.
Passo 1
O enunciado pede a integral dupla
onde
é a parte do primeiro quadrante limitada pelos eixos
,
e pela circunferência
. Como a região é circular, o mais prático é usar coordenadas polares.
Passo 2
Em coordenadas polares fazemos
Na primeira quadrante,
varia de
a
e
de
a
.
Passo 3
Substituindo na integral:
Passo 4
Calculemos primeiro a parte radial:
Passo 5
Agora a parte angular:
Use
,
. Quando
,
; quando
,
. Então
Passo 6
Multiplicando as duas partes: