Calcule a integral dupla
\int_{R} \int \frac{x y}{2-y^{2}} d A
onde R é a região retangular 1 \leq x \leq 3 e 0 \leq y \leq 1.
Sugestão: lembrar que \int \frac{d u}{u}=\ln (u)+c
3 \ln (2)
0
\ln (2)
2 \ln (2)
2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de
\iint_{R}\frac{x\,y}{2-y^{2}}\,dA
onde R é o retângulo 1\le x\le3 e 0\le y\le1.
O conteúdo aqui é aplicação de Fubini para separar a integral em x e y, e depois usar substituição para a parte em y.

Passo 2

Pela regra de Fubini, podemos escrever
\iint_{R}\frac{x\,y}{2-y^{2}}\,dA =\int_{x=1}^{3}\!\int_{y=0}^{1}\frac{x\,y}{2-y^{2}}\,dy\,dx.
Como o integrando separa em x vezes função de y, temos
\int_{x=1}^{3}x\,dx\;\times\;\int_{y=0}^{1}\frac{y}{2-y^{2}}\,dy.

Passo 3

Calcular a parte em x:
\int_{1}^{3}x\,dx =\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{3} =\frac{9}{2}-\frac{1}{2} =4.

Passo 4

Calcular a parte em y por substituição. Seja u=2-y^{2}, então du=-2y\,dy e y\,dy=-\tfrac12du. Assim,
\int_{0}^{1}\frac{y}{2-y^{2}}\,dy =-\frac12\int_{u(0)}^{u(1)}\frac{du}{u} =-\frac12\bigl[\ln|u|\bigr]_{u=2}^{u=1} =-\frac12\bigl(\ln1-\ln2\bigr) =\frac12\ln2.

Passo 5

Multiplicando os resultados de x e y:
4\;\times\;\frac12\ln2 =2\ln2.

Resposta

2\ln(2)

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