Calcule a integral dupla
\int_{R} \int x y^{2} d A
onde R é a região do 1 \cong quadrante do plano Cartesiano delimitada pelos gráficos das curvas y=x e y=x^{3}.
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Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=x\,y^2 sobre a região R no primeiro quadrante limitada pelas curvas y=x^3 e y=x. O conteúdo aqui é integrar em coordenadas cartesianas usando a regra de Fubini: primeiro determinamos os limites de x e y, depois fazemos a dupla integração iterada.

Passo 2

Para achar os limites de x, vemos onde as curvas se interceptam resolvendo
x^3 = x
x\,(x^2 - 1)=0
x=0,\quad x=\pm1.
No primeiro quadrante ficamos com x=0 e x=1. Logo x varia de 0 a 1.

Passo 3

Para cada x\in[0,1], a coordenada y vai da curva inferior y=x^3 até a superior y=x. Assim
\iint_{R} x\,y^2\,dA = \int_{x=0}^{1}\!\Bigl(\int_{y=x^3}^{\,x} x\,y^2\,dy\Bigr)\,dx.

Passo 4

Calculemos a integral interna em y:
\int_{y=x^3}^{x} x\,y^2\,dy = x\int_{x^3}^{x} y^2\,dy = x\Bigl[\tfrac{y^3}{3}\Bigr]_{y=x^3}^{y=x} = \frac{x}{3}\bigl(x^3 - x^9\bigr) = \frac{x^4 - x^{10}}{3}.

Passo 5

Agora integramos em x:
\int_{0}^{1} \frac{x^4 - x^{10}}{3}\,dx = \frac{1}{3}\int_{0}^{1}(x^4 - x^{10})\,dx = \frac{1}{3}\Bigl[\tfrac{x^5}{5} - \tfrac{x^{11}}{11}\Bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{3}\Bigl(\tfrac{1}{5} - \tfrac{1}{11}\Bigr) = \frac{1}{3}\cdot\frac{6}{55} = \frac{2}{55}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{55}

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