Calcule a integral dupla
\int_{R} \int x y d A
onde R é a região do plano Cartesiano delimitada pelos gráficos das curvas y=x^{2} e y=x^{3}.
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1/12
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1/24
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Passo 1

O enunciado pede calcular \iint_{R} x\,y\,dA, onde R é a região limitada pelas curvas y=x^{2} e y=x^{3}. A matéria é integração dupla em coordenadas cartesianas e precisamos determinar os limites de integração.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção resolvemos
x^{2}=x^{3}
que dá x^{2}(x-1)=0, logo x=0 ou x=1. Entre x=0 e x=1 vale x^{3}\le x^{2}. Assim
R = \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;x^{3}\le y\le x^{2}\}.

Passo 3

Montamos a integral iterada escolhendo primeiro a integração em y:
\iint_{R}x\,y\,dA =\int_{x=0}^{1}\Bigl(\int_{y=x^{3}}^{x^{2}}x\,y\,dy\Bigr)dx.

Passo 4

Calculamos a integral interna em y:
\int_{y=x^{3}}^{x^{2}}x\,y\,dy = x\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{y=x^{3}}^{x^{2}} = \frac{x}{2}\bigl(x^{4}-x^{6}\bigr).
Substituindo na integral externa, vem
\int_{0}^{1}\frac{x}{2}(x^{4}-x^{6})\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}(x^{5}-x^{7})\,dx =\frac{1}{2}\Bigl[\frac{x^{6}}{6}-\frac{x^{8}}{8}\Bigr]_{0}^{1}.

Passo 5

Avaliando em 0 e 1 e simplificando:
\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{6}-\frac{1}{8}\Bigr) =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{24} =\frac{1}{48}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{48}

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