Calcule a integral dupla \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{x}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos (y)}{y} d y d x
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-2
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Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{x}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(y)}{y}\,dy\,dx.
O conteúdo principal aqui é aplicação do Teorema de Fubini para inverter a ordem de integração, o que vai simplificar muito o cálculo.

Passo 2

Vamos descrever a região de integração D no plano (x,y):
D = \{(x,y)\mid 0 \le x \le \tfrac{\pi}{2},\; x \le y \le \tfrac{\pi}{2}\}.
Ao invertermos a ordem, y varia primeiro de 0 a \tfrac{\pi}{2} e, para cada y, x varia de 0 a y. Assim a integral fica
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{y}\frac{\cos(y)}{y}\,dx\,dy.

Passo 3

No integrando \cos(y)/y não depende de x, então podemos fazer direto a integral interna em x:
\int_{0}^{y}\frac{\cos(y)}{y}\,dx =\frac{\cos(y)}{y}\,\bigl[x\bigr]_{0}^{y} =\frac{\cos(y)}{y}\cdot y =\cos(y).
Logo a integral dupla reduz-se a
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(y)\,dy.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(y)\,dy, usamos a primitiva de \cos(y) que é \sin(y):
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(y)\,dy =\bigl[\sin(y)\bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)-\sin(0) =1-0 =1.

Resposta

1

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