- Calcule a integral dupla
, onde
é a região do primeiro quadrante delimitada pela reta
. (6 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla do integrando
sobre a região
do primeiro quadrante limitada pela reta
. Informações dadas e perguntas:
- Integrando:
. - Região
: triângulo no primeiro quadrante delimitado por , e . - Foram sugeridas duas ordens de integração equivalentes:
e .
A tarefa é calcular essa integral dupla e obter um valor numérico.
Passo 2
Entendendo a região
e os limites: a reta
intercepta os eixos em
e
. Então
é o triângulo com vértices
. Para cada escolha de ordem de integração:
- Se integrarmos primeiro em
(ordem ): varia de a e, para cada , varia de a . Isso corresponde ao integral . - Se integrarmos primeiro em
(ordem ): varia de a e, para cada , varia de a . Isso corresponde ao integral .
Observação: o integrandoé contínuo em , então podemos usar Fubini e escolher a ordem que facilitar os cálculos.
Passo 3
Vou calcular primeiro na ordem
. Primeiro, a ideia básica de integração iterada: quando integro em
mantendo
fixo, trato
como constante. Assim a integral interna é uma integral simples em
com
como fator constante.
Calcule a integral interna:
Como
é constante em relação a
, posso tirar fora:
A integral de
é
. Portanto:
Passo 4
Agora substituo o resultado no integral externo e obtenho
Explico o próximo passo: expandir o polinômio para integrar termo a termo. Primeiro expandimos
. Assim
Logo
Passo 5
Integramos termo a termo (lembrando que
para
):
Simplificando o coeficiente do segundo termo:
. Avaliando em
(o termo em
dá zero):
Agora fazemos a soma dentro do parêntese com denominador comum
:
Portanto
Multiplicando por
resulta
Passo 6
Vou fazer um cálculo alternativo (verificação) usando a outra ordem
. Aqui
é tratado como constante na integral interna:
Agora integramos em
:
Expandindo
temos
Integramos termo a termo:
Fazendo as somas:
,
,
. Então
que coincide com o resultado anterior.
Passo 7
Resumo didático e dicas para a prova:
- Para integrar sobre uma região triangular limitada por retas do tipo
, , , sempre desenhe ou identifique os vértices . - Escolha a ordem que torne a integral interna mais simples (aqui qualquer ordem é fácil).
- Separe constantes (como
quando se integra em ) para simplificar. - Ao integrar polinômios, expanda antes de integrar para poder aplicar
. - Sempre faça uma verificação rápida trocando a ordem de integração quando possível — dá segurança ao resultado.