1. Calcule a integral dupla \int_{R} \int x^{2} y d A, onde R é a região do primeiro quadrante delimitada pela reta \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\mathbf{1}. (6 pontos)
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} x^{2} y d y d x=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-y} x^{2} y d x d y=\frac{1}{60}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla do integrando x^{2}y sobre a região R do primeiro quadrante limitada pela reta x+y=1. Informações dadas e perguntas:
  • Integrando: x^{2}y.
  • Região R: triângulo no primeiro quadrante delimitado por x=0, y=0 e x+y=1.
  • Foram sugeridas duas ordens de integração equivalentes: \displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x} x^{2}y\,dy\,dx e \displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-y} x^{2}y\,dx\,dy.
    A tarefa é calcular essa integral dupla e obter um valor numérico.

Passo 2

Entendendo a região R e os limites: a reta x+y=1 intercepta os eixos em (1,0) e (0,1). Então R é o triângulo com vértices (0,0),(1,0),(0,1). Para cada escolha de ordem de integração:
  • Se integrarmos primeiro em y (ordem dy\,dx): x varia de 0 a 1 e, para cada x, y varia de 0 a 1-x. Isso corresponde ao integral \displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x} x^{2}y\,dy\,dx.
  • Se integrarmos primeiro em x (ordem dx\,dy): y varia de 0 a 1 e, para cada y, x varia de 0 a 1-y. Isso corresponde ao integral \displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-y} x^{2}y\,dx\,dy.
    Observação: o integrando x^{2}y é contínuo em R, então podemos usar Fubini e escolher a ordem que facilitar os cálculos.

Passo 3

Vou calcular primeiro na ordem \displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x} x^{2}y\,dy\,dx. Primeiro, a ideia básica de integração iterada: quando integro em y mantendo x fixo, trato x como constante. Assim a integral interna é uma integral simples em y com x^{2} como fator constante.
Calcule a integral interna:
\int_{0}^{1-x} x^{2}y\,dy.
Como x^{2} é constante em relação a y, posso tirar fora:
x^{2}\int_{0}^{1-x} y\,dy.
A integral de y é \frac{y^{2}}{2}. Portanto:
x^{2}\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1-x}=x^{2}\cdot\frac{(1-x)^{2}}{2}.

Passo 4

Agora substituo o resultado no integral externo e obtenho
\int_{0}^{1} x^{2}\cdot\frac{(1-x)^{2}}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} x^{2}(1-x)^{2}\,dx.
Explico o próximo passo: expandir o polinômio para integrar termo a termo. Primeiro expandimos (1-x)^{2}=1-2x+x^{2}. Assim
x^{2}(1-x)^{2}=x^{2}(1-2x+x^{2})=x^{2}-2x^{3}+x^{4}.
Logo
\frac{1}{2}\int_{0}^{1} x^{2}-2x^{3}+x^{4}\,dx.

Passo 5

Integramos termo a termo (lembrando que \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1):
\frac{1}{2}\left[\frac{x^{3}}{3}-2\cdot\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{1}.
Simplificando o coeficiente do segundo termo: 2\cdot\frac{x^{4}}{4}=\frac{x^{4}}{2}. Avaliando em x=1 (o termo em 0 dá zero):
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}\right).
Agora fazemos a soma dentro do parêntese com denominador comum 30:
\frac{1}{3}=\frac{10}{30},\qquad \frac{1}{2}=\frac{15}{30},\qquad \frac{1}{5}=\frac{6}{30}.
Portanto
\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}=\frac{10-15+6}{30}=\frac{1}{30}.
Multiplicando por \frac{1}{2} resulta
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{30}=\frac{1}{60}.

Passo 6

Vou fazer um cálculo alternativo (verificação) usando a outra ordem \displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-y} x^{2}y\,dx\,dy. Aqui y é tratado como constante na integral interna:
\int_{0}^{1-y} x^{2}y\,dx = y\int_{0}^{1-y} x^{2}\,dx = y\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1-y}=y\cdot\frac{(1-y)^{3}}{3}.
Agora integramos em y:
\int_{0}^{1} y\cdot\frac{(1-y)^{3}}{3}\,dy=\frac{1}{3}\int_{0}^{1} y(1-y)^{3}\,dy.
Expandindo (1-y)^{3}=1-3y+3y^{2}-y^{3} temos
y(1-y)^{3}=y-3y^{2}+3y^{3}-y^{4}.
Integramos termo a termo:
\frac{1}{3}\left[\frac{y^{2}}{2}-\frac{3y^{3}}{3}+\frac{3y^{4}}{4}-\frac{y^{5}}{5}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}-1+\frac{3}{4}-\frac{1}{5}\right).
Fazendo as somas: \frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{1}{4}, \frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{1}{20}. Então
\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{20}=\frac{1}{60},
que coincide com o resultado anterior.

Passo 7

Resumo didático e dicas para a prova:
  • Para integrar sobre uma região triangular limitada por retas do tipo x=0, y=0, x+y=1, sempre desenhe ou identifique os vértices (0,0),(1,0),(0,1).
  • Escolha a ordem que torne a integral interna mais simples (aqui qualquer ordem é fácil).
  • Separe constantes (como x^{2} quando se integra em y) para simplificar.
  • Ao integrar polinômios, expanda antes de integrar para poder aplicar \int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}.
  • Sempre faça uma verificação rápida trocando a ordem de integração quando possível — dá segurança ao resultado.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{60}

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