1. Calcule a integral dupla \int_{R} \int x^{2} d A, onde R é a região do primeiro quadrante delimitada pelas retas \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\mathbf{4} e \boldsymbol{x}=\mathbf{2}. (6 pontos)
\int_{0}^{2} \int_{0}^{4-x} x^{2} d y d x=\frac{20}{3} \text { ou } \int_{2}^{4} \int_{0}^{4-x} x^{2} d y d x=\frac{44}{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla \iint_{R} x^{2}\,dA, onde R é a região do primeiro quadrante delimitada pelas retas \,x+y=4\, e \,x=2\,. Informações importantes dadas:
  • A reta \,x+y=4\, pode ser escrita como \,y=4-x\,.
  • A reta vertical é \,x=2\,.
  • “Primeiro quadrante” significa \,x\ge 0 e \,y\ge 0.
  • Para que a região seja limitada (fechada e com área finita) precisamos também do eixo x (ou seja, de \,y=0), pois apenas as duas retas sozinhas não fechariam uma região finita no primeiro quadrante. Portanto a região R é o triângulo com vértices em (2,0), (4,0) e (2,2).

Passo 2

Vou determinar os limites de integração usando x como variável externa (integral iterada dy\,dx):
  • Para um x fixo dentro da região, y vai de baixo para cima desde o eixo x ( y=0) até a reta \,y=4-x.
  • Quais valores de x aparecem nesse triângulo? A projeção do triângulo no eixo x é de x=2 (lado esquerdo) até x=4 (ponto onde a reta corta o eixo x). Logo os limites para x são 2\le x\le 4.
    Portanto a integral iterada correta é
\int_{x=2}^{4}\int_{y=0}^{4-x} x^{2}\,dy\,dx.
Explico um detalhe importante: a integranda \,x^{2}\, não depende de y. Isso simplifica muito a integração interna: ao integrar em y apenas multiplicamos x^{2} pela largura em y (diferença entre limites superior e inferior).

Passo 3

Calculo a integral interna:
\int_{y=0}^{4-x} x^{2}\,dy = x^{2}\bigl[y\bigr]_{0}^{4-x} = x^{2}(4-x).
Então a integral dupla reduz-se a uma integral simples em x:
\int_{2}^{4} x^{2}(4-x)\,dx = \int_{2}^{4} \bigl(4x^{2}-x^{3}\bigr)\,dx.

Passo 4

Agora calculo a integral em x. Primeiro obtenho primitiva:
\int \bigl(4x^{2}-x^{3}\bigr)\,dx = \frac{4}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{4} + C.
Avalio entre x=2 e x=4:
\left(\frac{4}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{4}\right)\Bigg|_{2}^{4} = \left(\frac{4}{3}\cdot 4^{3}-\frac{1}{4}\cdot 4^{4}\right) - \left(\frac{4}{3}\cdot 2^{3}-\frac{1}{4}\cdot 2^{4}\right).
Calculo os termos separadamente:
\frac{4}{3}\cdot 4^{3}=\frac{4}{3}\cdot 64=\frac{256}{3},\qquad \frac{1}{4}\cdot 4^{4}=\frac{1}{4}\cdot 256=64,
\frac{4}{3}\cdot 2^{3}=\frac{4}{3}\cdot 8=\frac{32}{3},\qquad \frac{1}{4}\cdot 2^{4}=\frac{1}{4}\cdot 16=4.
Então
\left(\frac{256}{3}-64\right)-\left(\frac{32}{3}-4\right) = \left(\frac{256-192}{3}\right)-\left(\frac{32-12}{3}\right) = \frac{64}{3}-\frac{20}{3}=\frac{44}{3}.

Passo 5

Interpretação rápida: a alternativa com integração \displaystyle\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-x}x^{2}\,dy\,dx corresponde à outra porção (à esquerda de x=2) e daria \dfrac{20}{3}, mas não é a região pedida (que está entre x=2 e a reta). A região do enunciado, conforme explicado, é a que gera o valor \dfrac{44}{3}.

Resposta

\dfrac{44}{3}

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