Calcule a integral dupla \int_{R} \int x^{2} d A, onde R é a região do primeiro quadrante delimitada pelas retas \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\mathbf{4} e \boldsymbol{x}=\mathbf{2}. (6 pontos)
\int_{0}^{2} \int_{0}^{4-x} x^{2} d y d x=\frac{20}{3} \text { ou } \int_{2}^{4} \int_{0}^{4-x} x^{2} d y d x=\frac{44}{3}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla \iint_{R} x^{2}\,dA, onde R é a região do primeiro quadrante delimitada pelas retas \,x+y=4\, e \,x=2\,. Informações importantes dadas:
A reta \,x+y=4\, pode ser escrita como \,y=4-x\,.
A reta vertical é \,x=2\,.
“Primeiro quadrante” significa \,x\ge 0 e \,y\ge 0.
Para que a região seja limitada (fechada e com área finita) precisamos também do eixo x (ou seja, de \,y=0), pois apenas as duas retas sozinhas não fechariam uma região finita no primeiro quadrante. Portanto a região R é o triângulo com vértices em (2,0), (4,0) e (2,2).
Passo 2
Vou determinar os limites de integração usando x como variável externa (integral iterada dy\,dx):
Para um x fixo dentro da região, y vai de baixo para cima desde o eixo x (y=0) até a reta \,y=4-x.
Quais valores de x aparecem nesse triângulo? A projeção do triângulo no eixo x é de x=2 (lado esquerdo) até x=4 (ponto onde a reta corta o eixo x). Logo os limites para x são 2\le x\le 4.
Portanto a integral iterada correta é
\int_{x=2}^{4}\int_{y=0}^{4-x} x^{2}\,dy\,dx.
Explico um detalhe importante: a integranda \,x^{2}\, não depende de y. Isso simplifica muito a integração interna: ao integrar em y apenas multiplicamos x^{2} pela largura em y (diferença entre limites superior e inferior).
Interpretação rápida: a alternativa com integração \displaystyle\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-x}x^{2}\,dy\,dx corresponde à outra porção (à esquerda de x=2) e daria \dfrac{20}{3}, mas não é a região pedida (que está entre x=2 e a reta). A região do enunciado, conforme explicado, é a que gera o valor \dfrac{44}{3}.