1. Esboce e determine a área delimitada pelos traçados das curvas \boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}^{\mathbf{2}}-\mathbf{2 x}-\mathbf{3} e \boldsymbol{y}=\mathbf{2 x}+\mathbf{9}. (6 pontos)
\int_{-2}^{6} \int_{x^{2}-2 x-3}^{2 x+9} d y d x=\frac{256}{3}

Passo 1

O enunciado dá duas curvas e pede duas coisas: esboçar a região comum e calcular a área delimitada por elas. As informações fornecidas são:
y = x^{2} - 2x - 3
y = 2x + 9
Além disso o enunciado apresenta a integral
\int_{-2}^{6}\int_{x^{2}-2x-3}^{2x+9} dy\,dx=\frac{256}{3},
que pode ser uma verificação da resposta. A missão é determinar explicitamente a área da região limitada por essas duas curvas.

Passo 2

Para achar os limites de integração (as abscissas onde as curvas se cruzam), igualamos as duas expressões de y:
x^{2}-2x-3 = 2x+9.
Passando todos os termos para um lado:
x^{2}-4x-12=0.
Essa é uma equação quadrática. Podemos fatorar:
x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2).
Logo as raízes são
x=-2\quad\text{e}\quad x=6.
As coordenadas dos pontos de interseção obtêm-se substituindo em qualquer das curvas; usando a reta y=2x+9:
\text{em }x=-2:\; y=2(-2)+9=5,
\text{em }x=6:\; y=2(6)+9=21.
Portanto os pontos de interseção são (-2,5) e (6,21).

Passo 3

Vamos entender qual curva fica por cima entre x=-2 e x=6. Testo em um valor intermediário, por exemplo x=0:
\text{reta: } y=2(0)+9=9,\qquad \text{parábola: } y=0^{2}-2\cdot0-3=-3.á
Como 9>-3, a reta y=2x+9 está acima da parábola y=x^{2}-2x-3 no intervalo entre as interseções. Geometricamente: a parábola abre para cima (coeficiente de x^2 positivo) e tem vértice em x=1,\;y=-4; a reta é crescente com coeficiente angular 2. A região limitada é, portanto, o “recorte” entre as curvas para x entre -2 e 6.

Passo 4

A fórmula padrão para a área entre duas curvas y_{\text{top}}(x) e y_{\text{bottom}}(x) num intervalo [a,b] é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bottom}}(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui y_{\text{top}}(x)=2x+9 e y_{\text{bottom}}(x)=x^{2}-2x-3, com a=-2 e b=6. O integrando fica
(2x+9)-(x^{2}-2x-3) = -x^{2}+4x+12.
Assim a área é
\int_{-2}^{6}\bigl(-x^{2}+4x+12\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculo a primitiva termo a termo, usando a regra da potência \displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} (válida para n\neq -1) e que \int k\,dx = kx para constante k.
Para cada termo:
\int -x^{2}\,dx = -\frac{x^{3}}{3},
\int 4x\,dx = 4\cdot\frac{x^{2}}{2}=2x^{2},
\int 12\,dx = 12x.
Portanto uma primitiva do integrando é
F(x) = -\frac{1}{3}x^{3} + 2x^{2} + 12x.

Passo 6

Avalio a primitiva nos limites e faço a diferença F(6)-F(-2).
Primeiro F(6):
F(6) = -\frac{1}{3}\cdot 6^{3} + 2\cdot 6^{2} + 12\cdot 6.
Calculo termo a termo:
6^{3}=216\Rightarrow -\frac{1}{3}\cdot 216 = -72,
2\cdot 6^{2}=2\cdot 36=72,
12\cdot 6=72.
Somando: F(6)=-72+72+72=72.
Agora F(-2):
F(-2) = -\frac{1}{3}\cdot(-2)^{3} + 2\cdot(-2)^{2} + 12\cdot(-2).
Calculo termo a termo:
(-2)^{3}=-8\Rightarrow -\frac{1}{3}\cdot(-8)=\frac{8}{3},
2\cdot(-2)^{2}=2\cdot 4=8,
12\cdot(-2)=-24.
Somando: F(-2)=\frac{8}{3}+8-24=\frac{8}{3}-16=\frac{8-48}{3}=-\frac{40}{3}.
Agora a área:
\text{Área}=F(6)-F(-2)=72-\left(-\frac{40}{3}\right)=72+\frac{40}{3}=\frac{216+40}{3}=\frac{256}{3}.Á

Passo 7

Concluímos que a área da região limitada pelas curvas dadas é \displaystyle\frac{256}{3}. Isso coincide com a integral apresentada no enunciado, que serve como checagem.

Resposta

\displaystyle \frac{256}{3}

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