- Esboce e determine a área delimitada pelos traçados das curvas
e
. (6 pontos)
Passo 1
O enunciado dá duas curvas e pede duas coisas: esboçar a região comum e calcular a área delimitada por elas. As informações fornecidas são:
Além disso o enunciado apresenta a integral
que pode ser uma verificação da resposta. A missão é determinar explicitamente a área da região limitada por essas duas curvas.
Passo 2
Para achar os limites de integração (as abscissas onde as curvas se cruzam), igualamos as duas expressões de
:
Passando todos os termos para um lado:
Essa é uma equação quadrática. Podemos fatorar:
Logo as raízes são
As coordenadas dos pontos de interseção obtêm-se substituindo em qualquer das curvas; usando a reta
:
Portanto os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Vamos entender qual curva fica por cima entre
e
. Testo em um valor intermediário, por exemplo
:
Como
, a reta
está acima da parábola
no intervalo entre as interseções. Geometricamente: a parábola abre para cima (coeficiente de
positivo) e tem vértice em
; a reta é crescente com coeficiente angular
. A região limitada é, portanto, o “recorte” entre as curvas para
entre
e
.
Passo 4
A fórmula padrão para a área entre duas curvas
e
num intervalo
é
Aqui
e
, com
e
. O integrando fica
Assim a área é
Passo 5
Calculo a primitiva termo a termo, usando a regra da potência
(válida para
) e que
para constante
.
Para cada termo:
Para cada termo:
Portanto uma primitiva do integrando é
Passo 6
Avalio a primitiva nos limites e faço a diferença
.
Primeiro
:
Calculo termo a termo:
Somando:
Agora
:
Calculo termo a termo:
Somando:
Agora a área:
Passo 7
Concluímos que a área da região limitada pelas curvas dadas é
. Isso coincide com a integral apresentada no enunciado, que serve como checagem.