Calcule a integral dupla \int_{0}^{1} \int_{x}^{1} \operatorname{sen}\left(y^{2}\right) d y d x.
\frac{1}{2} 1+\cos (1)
\frac{1}{2}[1-\cos (1)]
\frac{1}{2}[1+\operatorname{sen}(1)]
\frac{1}{2}[1-\operatorname{sen}(1)]
\frac{1}{2}[\cos (1)-\operatorname{sen}(1)]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}\sin\bigl(y^{2}\bigr)\,dy\,dx.
O conteúdo principal é troca de ordem de integração (Teorema de Fubini) e depois uma substituição para resolver a integral resultante.

Passo 2

Primeiro descrevemos a região de integração no plano (x,y):
0\le x\le 1,\quad x\le y\le 1.
Ao trocar a ordem, y varia de 0 a 1 e, para cada y, x varia de 0 a y. Assim,
\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}\sin\bigl(y^{2}\bigr)\,dy\,dx =\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{y}\sin\bigl(y^{2}\bigr)\,dx\,dy.
Como \sin(y^{2}) não depende de x, fazemos a integração interna:
\int_{0}^{y}dx = y,
logo a dupla fica
\int_{0}^{1}y\,\sin\bigl(y^{2}\bigr)\,dy.

Passo 3

Para calcular
\int_{0}^{1}y\,\sin\bigl(y^{2}\bigr)\,dy
fazemos a substituição u=y^{2}, de modo que du=2y\,dy ou y\,dy=\tfrac{1}{2}\,du. Quando y=0, u=0; quando y=1, u=1. Então
\int_{0}^{1}y\,\sin\bigl(y^{2}\bigr)\,dy =\tfrac{1}{2}\int_{0}^{1}\sin(u)\,du =\tfrac{1}{2}\bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{1} =\tfrac{1}{2}\bigl(1-\cos(1)\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\bigl[1-\cos(1)\bigr]

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