Calcule a integral dupla
\int_{R} \int x^{2} y d A
onde R é a região do 1 ㅇ quadrante do plano Cartesiano delimitada pelos eixos coordenados e pela circunferência x^{2}+y^{2}=9.
81/11
81/7
27
81 / 5
9

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{R} x^{2}y\,dA
onde R é o primeiro quadrante delimitado pelos eixos coordenados e pela circunferência x^{2}+y^{2}=9.
O conteúdo principal aqui é mudança para coordenadas polares, que facilita a descrição da região circular e o cálculo da integral.

Passo 2

Fazendo a mudança para coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta,
com r variando de 0 a 3 (já que x^{2}+y^{2}=r^{2}\le9) e \theta de 0 a \tfrac{\pi}{2} (primeiro quadrante).
O integrando vira
x^{2}y = (r\cos\theta)^{2}\,(r\sin\theta) = r^{3}\cos^{2}\theta\,\sin\theta
e, incluindo o jacobiano, obtemos
r^{3}\cos^{2}\theta\,\sin\theta\;\times\;r \;=\;r^{4}\cos^{2}\theta\,\sin\theta.

Passo 3

A integral dupla separa-se em produto de duas integrais:
\iint_{R}x^{2}y\,dA =\int_{\theta=0}^{\pi/2}\!\!\int_{r=0}^{3}r^{4}\cos^{2}\theta\,\sin\theta\,dr\,d\theta =\Bigl(\int_{0}^{3}r^{4}dr\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,\sin\theta\,d\theta\Bigr).
Calculando a parte em r:
\int_{0}^{3}r^{4}dr = \frac{r^{5}}{5}\Big|_{0}^{3} = \frac{3^{5}}{5} = \frac{243}{5}.

Passo 4

Agora a parte angular, usando u=\cos\theta e du=-\sin\theta\,d\theta:
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,\sin\theta\,d\theta =\int_{u=1}^{0}u^{2}(-du) =\int_{0}^{1}u^{2}du =\frac{u^{3}}{3}\Big|_{0}^{1} =\frac{1}{3}.

Passo 5

Multiplicando os resultados:
\iint_{R}x^{2}y\,dA =\frac{243}{5}\times\frac{1}{3} =\frac{243}{15} =\frac{81}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{81}{5}

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