Calcule a integral dupla
\int_{R} \int(2 x+y) d A
onde R é a região do plano Cartesiano delimitada pela reta y=2 x e pela parábola y=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla de (2x+y) sobre a região R limitada pela reta \,y=2x e pela parábola \,y=x^2. O conteúdo envolve integração dupla em coordenadas cartesianas; vamos precisar determinar o tipo de varredura (vertical ou horizontal), encontrar pontos de interseção, expressar os limites e calcular a integral iterada.

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção resolvendo
x^2 = 2x
que leva a
x(x-2)=0
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x=0\quad\text{e}\quad x=2,
correspondendo aos pontos (0,0) e (2,4).

Passo 3

Verificamos para 0\le x\le2 que x^2\le2x, então a região descrita por varredura vertical é
0\le x\le2,\quad x^2\le y\le2x.
Assim,
\iint_{R}(2x+y)\,dA =\int_{0}^{2}\int_{x^2}^{2x}(2x+y)\,dy\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral interna:
\int_{x^2}^{2x}(2x+y)\,dy =\Bigl[2x\,y+\tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{y=x^2}^{y=2x} =4x^2+2x^2-\bigl(2x^3+\tfrac{x^4}{2}\bigr) =6x^2-2x^3-\tfrac{x^4}{2}.

Passo 5

Agora integramos em x:
\int_{0}^{2}\bigl(6x^2-2x^3-\tfrac{x^4}{2}\bigr)\,dx =\Bigl[2x^3-\tfrac{x^4}{2}-\tfrac{x^5}{10}\Bigr]_{0}^{2} =16-8-\tfrac{32}{10} =\tfrac{24}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{24}{5}

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