Calcule a integral dupla:
a. Resolva na ordem dada.
b. Inverta a ordem de integração e resolva novamente.
c. Verifique que os resultados coincidem.
b. Inverta a ordem de integração e resolva novamente.
c. Verifique que os resultados coincidem.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
em três partes:
- (a) calcular a integral na ordem dada (primeiro em
, depois em ); - (b) inverter a ordem de integração (primeiro em
, depois em ) e calcular novamente; - (c) verificar que os resultados coincidem.
Informações dadas e observações iniciais:
- O integrando é
. - Os limites originais são
e, para cada , . - A região de integração
é composta por todos os pontos tais que e .
Passo 2
Vamos resolver (a) na ordem dada. Ideia: fazer a integral interna em
tratando
como constante, depois integrar o resultado em
.
Regra usada para integrar em
: se
é tratado como constante, então
Aqui
aparece como constante em relação a
.
Compute a integral interna:
Observação:
e
. Portanto o resultado da integral interna é
Agora integrar esse resultado em
de
a
. Usamos a regra geral para potências:
Aplicando:
Calcule cada termo:
Somando,
Assim, o valor da integral na ordem dada é
.
Passo 3
Agora (b): inverter a ordem de integração e resolver.
Primeiro descrevemos a região
com atenção para inverter os limites. A condição original
é equivalente a
e
. Como também
(do limite superior original), temos
Logo, invertendo a ordem,
varia de
a
e, para cada
,
varia de
até
. A integral invertida fica
Agora calcular a integral interna em
. Regra: integrar termo a termo,
Avaliar de
até
:
Calcule termos:
Agora integrar esse resultado em
de
a
:
Integramos termo a termo, usando
:
Somando todos os termos:
Portanto, o valor calculado após inverter a ordem de integração também é
.
Passo 4
(bônus didático e interpretação para (c)): por que os resultados coincidem? Aqui a função integranda
é contínua em todo o retângulo que contém
, então a integral dupla é independente da ordem de integração (é a ideia do teorema de Fubini para funções contínuas em regiões mensuráveis). Na prática, trocar a ordem exige apenas descrever corretamente a região
em termos das novas variáveis (o que fizemos encontrando
entre
e
e
entre
e
) e calcular as integrais; os cálculos mostram que ambas as ordens dão o mesmo valor
.
Resposta
(a)
(b)
(c) Os resultados coincidem: ambos valem .
(b)
(c) Os resultados coincidem: ambos valem