Calcule a integral dupla:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{x}}(x+y) d y d x
a. Resolva na ordem dada.
b. Inverta a ordem de integração e resolva novamente.
c. Verifique que os resultados coincidem.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{x}}(x+y)\,dy\,dx
em três partes:
  • (a) calcular a integral na ordem dada (primeiro em y, depois em x);
  • (b) inverter a ordem de integração (primeiro em x, depois em y) e calcular novamente;
  • (c) verificar que os resultados coincidem.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O integrando é x+y.
  • Os limites originais são 0\le x\le1 e, para cada x, 0\le y\le\sqrt{x}.
  • A região de integração R é composta por todos os pontos (x,y) tais que 0\le x\le1 e 0\le y\le\sqrt{x}.

Passo 2

Vamos resolver (a) na ordem dada. Ideia: fazer a integral interna em y tratando x como constante, depois integrar o resultado em x.
Regra usada para integrar em y: se x é tratado como constante, então
\int (x+y)\,dy = \int x\,dy + \int y\,dy = x y + \frac{y^{2}}{2} + C.
Aqui x aparece como constante em relação a y.
Compute a integral interna:
\int_{0}^{\sqrt{x}}(x+y)\,dy = \left[x y + \frac{y^{2}}{2}\right]_{y=0}^{y=\sqrt{x}} = x\sqrt{x} + \frac{(\sqrt{x})^{2}}{2} - \left(0 + 0\right).
Observação: x\sqrt{x}=x\cdot x^{1/2}=x^{3/2} e (\sqrt{x})^{2}=x. Portanto o resultado da integral interna é
x^{3/2} + \frac{x}{2}.
Agora integrar esse resultado em x de 0 a 1. Usamos a regra geral para potências:
\int x^{p}\,dx = \frac{x^{p+1}}{p+1}+C \quad(\text{para }p\neq -1).
Aplicando:
\int_{0}^{1}\left(x^{3/2}+\frac{x}{2}\right)dx = \int_{0}^{1} x^{3/2}\,dx + \frac{1}{2}\int_{0}^{1} x\,dx.
Calcule cada termo:
\int_{0}^{1} x^{3/2}\,dx = \left[\frac{x^{5/2}}{5/2}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{5}\cdot 1^{5/2} - 0 = \frac{2}{5},
\frac{1}{2}\int_{0}^{1} x\,dx = \frac{1}{2}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{4}.
Somando,
\frac{2}{5} + \frac{1}{4} = \frac{8}{20} + \frac{5}{20} = \frac{13}{20}.
Assim, o valor da integral na ordem dada é \dfrac{13}{20}.

Passo 3

Agora (b): inverter a ordem de integração e resolver.
Primeiro descrevemos a região R com atenção para inverter os limites. A condição original 0\le y\le\sqrt{x} é equivalente a y\ge 0 e x\ge y^{2}. Como também x\le1 (do limite superior original), temos
R=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\; y^{2}\le x\le 1\}.
Logo, invertendo a ordem, y varia de 0 a 1 e, para cada y, x varia de y^{2} até 1. A integral invertida fica
\int_{0}^{1}\int_{y^{2}}^{1} (x+y)\,dx\,dy.
Agora calcular a integral interna em x. Regra: integrar termo a termo,
\int (x+y)\,dx = \frac{x^{2}}{2} + yx + C.
Avaliar de x=y^{2} até x=1:
\left[\frac{x^{2}}{2} + yx\right]_{x=y^{2}}^{x=1} = \left(\frac{1^{2}}{2} + y\cdot 1\right) - \left(\frac{(y^{2})^{2}}{2} + y\cdot y^{2}\right).
Calcule termos:
\frac{1}{2} + y - \left(\frac{y^{4}}{2} + y^{3}\right) = \frac{1}{2} + y - y^{3} - \frac{y^{4}}{2}.
Agora integrar esse resultado em y de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{2} + y - y^{3} - \frac{y^{4}}{2}\right)dy.
Integramos termo a termo, usando \int y^{n}dy = \dfrac{y^{n+1}}{n+1}:
\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\,dy = \left[\frac{y}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2},
\int_{0}^{1} y\,dy = \left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2},
\int_{0}^{1} -y^{3}\,dy = -\left[\frac{y^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = -\frac{1}{4},
\int_{0}^{1} -\frac{y^{4}}{2}\,dy = -\frac{1}{2}\left[\frac{y^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = -\frac{1}{10}.
Somando todos os termos:
\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{10} = 1 - \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{10}\right) = 1 - \frac{5+2}{20} = 1 - \frac{7}{20} = \frac{13}{20}.
Portanto, o valor calculado após inverter a ordem de integração também é \dfrac{13}{20}.

Passo 4

(bônus didático e interpretação para (c)): por que os resultados coincidem? Aqui a função integranda x+y é contínua em todo o retângulo que contém R, então a integral dupla é independente da ordem de integração (é a ideia do teorema de Fubini para funções contínuas em regiões mensuráveis). Na prática, trocar a ordem exige apenas descrever corretamente a região R em termos das novas variáveis (o que fizemos encontrando y entre 0 e 1 e x entre y^{2} e 1) e calcular as integrais; os cálculos mostram que ambas as ordens dão o mesmo valor \dfrac{13}{20}.

Resposta

(a) \dfrac{13}{20}
(b) \dfrac{13}{20}
(c) Os resultados coincidem: ambos valem \dfrac{13}{20}.

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