Calcule as integrais trigonométricas abaixo usando em cada caso o melhor método:
\int \cos (10 x) \cos (6 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \cos(10x)\cos(6x)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é o produto de duas funções trigonométricas: \cos(10x) e \cos(6x).
  • Não há mais restrições; devemos encontrar uma primitiva (antiderivada) geral, incluindo a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método (explicação curta e justificativa): como temos o produto de duas cossenos, o método mais direto e padrão é usar a identidade produto-para-soma (product-to-sum), que transforma produtos de senos/cossenos em soma de cossenos (ou senos). Isso simplifica a integral transformando-a em soma de integrais de cossenos simples. Vou mostrar como obter essa identidade antes de aplicá‑la.

Passo 3

Derivação da identidade produto-para-soma usada: comece pelas fórmulas de adição e subtração para o cosseno:
\cos(u+v)=\cos u\cos v-\sin u\sin v,
\cos(u-v)=\cos u\cos v+\sin u\sin v.
Somando as duas igualdades obtemos
\cos(u+v)+\cos(u-v)=2\cos u\cos v.
Portanto a identidade é
\cos u\cos v=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(u+v)+\cos(u-v)\bigr).

Passo 4

Aplicando a identidade ao nosso caso com u=10x e v=6x:
\cos(10x)\cos(6x)=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos((10x)+(6x))+\cos((10x)-(6x))\bigr) =\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(16x)+\cos(4x)\bigr).
Logo a integral vira
\int \cos(10x)\cos(6x)\,dx =\tfrac{1}{2}\int \cos(16x)\,dx+\tfrac{1}{2}\int \cos(4x)\,dx.

Passo 5

Agora integramos cada termo. Lembrete rápido (por que aparece o fator 1/k ao integrar \cos(kx)): se fizermos a substituição u=kx então du=k\,dx e dx=du/k, logo
\int \cos(kx)\,dx=\int \cos(u)\,\frac{du}{k}=\frac{1}{k}\sin(u)+C=\frac{1}{k}\sin(kx)+C.
Aplicando isso aos nossos termos:
\int \cos(16x)\,dx=\tfrac{1}{16}\sin(16x)+C_1, \qquad \int \cos(4x)\,dx=\tfrac{1}{4}\sin(4x)+C_2.
Substituindo na expressão do Passo 4 e juntando as constantes em uma só C, obtemos
\int \cos(10x)\cos(6x)\,dx =\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{16}\sin(16x)+\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{4}\sin(4x)+C =\tfrac{1}{32}\sin(16x)+\tfrac{1}{8}\sin(4x)+C.

Resposta

\tfrac{1}{8}\sin(4x)+\tfrac{1}{32}\sin(16x)+C

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