Calcule as integrais trigonométricas abaixo usando em cada caso o melhor método:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é o produto de duas funções trigonométricas:
e . - Não há mais restrições; devemos encontrar uma primitiva (antiderivada) geral, incluindo a constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método (explicação curta e justificativa): como temos o produto de duas cossenos, o método mais direto e padrão é usar a identidade produto-para-soma (product-to-sum), que transforma produtos de senos/cossenos em soma de cossenos (ou senos). Isso simplifica a integral transformando-a em soma de integrais de cossenos simples. Vou mostrar como obter essa identidade antes de aplicá‑la.
Passo 3
Derivação da identidade produto-para-soma usada: comece pelas fórmulas de adição e subtração para o cosseno:
Somando as duas igualdades obtemos
Portanto a identidade é
Passo 4
Aplicando a identidade ao nosso caso com
e
:
Logo a integral vira
Passo 5
Agora integramos cada termo. Lembrete rápido (por que aparece o fator
ao integrar
): se fizermos a substituição
então
e
, logo
Aplicando isso aos nossos termos:
Substituindo na expressão do Passo 4 e juntando as constantes em uma só
, obtemos