Calcule as integrais trigonométricas abaixo usando em cada caso o melhor método:
\int 35 \cos ^{7} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 35 \cos^{7} x \, dx.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A integranda é 35\cos^{7}x.
  • É uma integral indefinida (sem limites), então o resultado deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática e intuitiva):
  • Quando a potência de \cos x é ímpar (aqui 7), um método eficiente é reservar um fator \cos x e reescrever o resto em termos de \sin x usando a identidade trigonométrica
\cos^{2}x = 1 - \sin^{2}x.
  • Isso permite fazer a substituição u=\sin x, porque du=\cos x\,dx. Vou seguir exatamente esse caminho — é o mais direto e o que costuma cair em prova.

Passo 3

Primeiro passo algébrico: separar um fator \cos x e colocar o restante como potência de \cos^{2}x.
\int 35\cos^{7}x\,dx = 35\int \cos^{6}x\cdot\cos x\,dx = 35\int (\cos^{2}x)^{3}\cos x\,dx.

Passo 4

Usar a identidade \cos^{2}x = 1 - \sin^{2}x e fazer a substituição u=\sin x.
  • Substituição: u=\sin x implica du=\cos x\,dx.
  • Aplicando isso e a identidade:
35\int (\cos^{2}x)^{3}\cos x\,dx = 35\int (1-\sin^{2}x)^{3}\cos x\,dx.
Com u=\sin x e du=\cos x\,dx obtemos
35\int (1-u^{2})^{3}\,du.

Passo 5

Expandir o polinômio (1-u^{2})^{3} (usar o binômio de Newton):
(1-u^{2})^{3} = 1 - 3u^{2} + 3u^{4} - u^{6}.
Portanto a integral vira
35\int \bigl(1 - 3u^{2} + 3u^{4} - u^{6}\bigr)\,du.

Passo 6

Integrar termo a termo usando a regra da potência:
  • Regra da potência: para n\neq -1, \displaystyle \int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}.
    Aplicando isso:
\int \bigl(1 - 3u^{2} + 3u^{4} - u^{6}\bigr)\,du = u - 3\cdot\frac{u^{3}}{3} + 3\cdot\frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{7}}{7}.
Simplificando os coeficientes:
= u - u^{3} + \frac{3}{5}u^{5} - \frac{1}{7}u^{7}.

Passo 7

Multiplicar pelo fator 35 que ficou fora da integral e simplificar os coeficientes:
35\Bigl(u - u^{3} + \frac{3}{5}u^{5} - \frac{1}{7}u^{7}\Bigr) = 35u - 35u^{3} + 21u^{5} - 5u^{7}.
Agora voltar à variável original x usando u=\sin x:
35\sin x - 35\sin^{3}x + 21\sin^{5}x - 5\sin^{7}x + C.

Passo 8

Resumo final e motivação curta (para decorar a técnica):
  • Para potências ímpares de \cos x (ou \sin x), sempre vale a pena separar um fator \cos x e usar \cos^{2}x=1-\sin^{2}x com u=\sin x. Isso transforma a integral numa integral polinomial em u, que é bem direta de integrar.

Resposta

35\sin x - 35\sin^{3}x + 21\sin^{5}x - 5\sin^{7}x + C

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