Calcule as integrais trigonométricas abaixo usando em cada caso o melhor método:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A integranda é
. - É uma integral indefinida (sem limites), então o resultado deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática e intuitiva):
- Quando a potência de
é ímpar (aqui ), um método eficiente é reservar um fator e reescrever o resto em termos de usando a identidade trigonométrica
- Isso permite fazer a substituição
, porque . Vou seguir exatamente esse caminho — é o mais direto e o que costuma cair em prova.
Passo 3
Primeiro passo algébrico: separar um fator
e colocar o restante como potência de
.
Passo 4
Usar a identidade
e fazer a substituição
.
- Substituição:
implica . - Aplicando isso e a identidade:
Com
e
obtemos
Passo 5
Expandir o polinômio
(usar o binômio de Newton):
Portanto a integral vira
Passo 6
Integrar termo a termo usando a regra da potência:
- Regra da potência: para
, .
Aplicando isso:
Simplificando os coeficientes:
Passo 7
Multiplicar pelo fator
que ficou fora da integral e simplificar os coeficientes:
Agora voltar à variável original
usando
:
Passo 8
Resumo final e motivação curta (para decorar a técnica):
- Para potências ímpares de
(ou ), sempre vale a pena separar um fator e usar com . Isso transforma a integral numa integral polinomial em , que é bem direta de integrar.