Calcule a integral dupla
, onde
e
são dados, em cada um dos seguintes itens. Esboce a região
.
é a região limitada por
e
;
Passo 1
No enunciado, queremos calcular a integral dupla de f(x,y)=x y sobre a região R delimitada pelas retas y=x, y=2x e x+y=2. O conteúdo envolve integração dupla e esboço de regiões, e precisaremos (1) determinar os vértices de R, (2) esboçar R, (3) escolher limites adequados e (4) calcular a integral.
Passo 2
Para achar os vértices de R, resolvemos as interseções: – y=x com y=2x dá (0,0); – y=x com x+y=2 ⇒ 2x=2 ⇒ (1,1); – y=2x com x+y=2 ⇒ 3x=2 ⇒ (2/3,4/3). Assim R é o triângulo de vértices (0,0), (1,1), (2/3,4/3).
Passo 3
Como a reta x+y=2 corta primeiro a reta y=2x em x=2/3, dividimos R em duas partes para parametrizar em x–y de modo simples: R₁: 0≤x≤2/3, x≤y≤2x; R₂: 2/3≤x≤1, x≤y≤2−x.
Passo 4
Na parte R₁, escrevemos e calculamos
Passo 5
Na parte R₂, escrevemos
Passo 6
Somando as duas contribuições, obtemos
Resposta
13/81