Calcule a integral dupla integral duplaR f(x, y) d x d y, onde f e R são dados, em cada um dos seguintes itens. Esboce a região R.
f(x, y)=x y, R é a região limitada por y=x, y=2 x e x+y=2;

Passo 1

No enunciado, queremos calcular a integral dupla de f(x,y)=x y sobre a região R delimitada pelas retas y=x, y=2x e x+y=2. O conteúdo envolve integração dupla e esboço de regiões, e precisaremos (1) determinar os vértices de R, (2) esboçar R, (3) escolher limites adequados e (4) calcular a integral.

Passo 2

Para achar os vértices de R, resolvemos as interseções: – y=x com y=2x dá (0,0); – y=x com x+y=2 ⇒ 2x=2 ⇒ (1,1); – y=2x com x+y=2 ⇒ 3x=2 ⇒ (2/3,4/3). Assim R é o triângulo de vértices (0,0), (1,1), (2/3,4/3).

Passo 3

Como a reta x+y=2 corta primeiro a reta y=2x em x=2/3, dividimos R em duas partes para parametrizar em x–y de modo simples: R₁: 0≤x≤2/3, x≤y≤2x; R₂: 2/3≤x≤1, x≤y≤2−x.

Passo 4

Na parte R₁, escrevemos e calculamos
I₁=integralx=0^2/3integraly=x^2xx,y,dy,dx Calculando a integral interna:
integralx^2xy,dy=tfrac12l((2x)^2−x^2r)=tfrac12(4x^2−x^2)=tfrac32x^2 Logo
I₁=integral0^2/3xcdottfrac32x^2,dx=tfrac32integral0^2/3x^3,dx=tfrac32cdottfracx^44|0^2/3=tfrac38l(tfrac1681r)=tfrac227

Passo 5

Na parte R₂, escrevemos
I₂=integralx=2/3^1integraly=x^2−xx,y,dy,dx De novo, integral em y:
integralx^2−xy,dy=tfrac12l((2−x)^2−x^2r)=tfrac12(4−4x+x^2−x^2)=2−2x Logo
I₂=integral2/3^1x(2−2x),dx=integral2/3^1(2x−2x^2),dx=l[x^2-tfrac23x^3r]2/3^1=l(1-tfrac23r)-l(tfrac49-tfrac1681r)=tfrac13-tfrac2081=tfrac781

Passo 6

Somando as duas contribuições, obtemos
integral duplaRx y,dx,dy=I₁+I₂=tfrac227+tfrac781=tfrac681+tfrac781=tfrac1381

Resposta

13/81

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