Calcule a integral dupla integral duplaR f(x, y) d x d y, onde f e R são dados, em cada um dos seguintes itens. Esboce a região R.
f(x, y)=sen y^3, R é a região limitada por y=raizx, y=2 e x=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaRsin(y^3),dx,dy, onde a região R é limitada por y=raizx, y=2 e x=0. O conteúdo envolvido é integrais duplas e técnica de substituição em integrais simples; vamos precisar identificar corretamente os limites de integração e depois usar uma mudança de variável.

Passo 2

Primeiro, esboçamos a região R. A curva y=raizx equivale a x=y^2. Junto com x=0 (eixo y) e y=2, isso nos mostra que y varia de 0 a 2 e, para cada y, x vai de 0 até y^2.

Passo 3

Com esses limites, escrevemos a integral em ordem dx,dy:
integral duplaRsin(y^3),dx,dy = integraly=0^2integralx=0^y^2sin(y^3),dx,dy
Como sin(y^3) não depende de x, a integral interna é simples:
integralx=0^y^2sin(y^3),dx = sin(y^3)integral0^y^2dx = y^2sin(y^3)
Logo a integral fica
integral0^2y^2sin(y^3),dy

Passo 4

Agora usamos a substituição u=y^3, o que dá du=3y^2,dy ou y^2,dy=tfrac13du. Quando y=0, u=0; quando y=2, u=8. Assim
integral0^2y^2sin(y^3),dy = 13integral0^8sin(u),du
Calculando esta integral,
13integral0^8sin(u),du = 13l[-cos(u)r]0^8 = 13l(-cos(8)+cos(0)r)

Resposta

1-cos(8)3

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