Calcule a integral dupla
, onde
e
são dados, em cada um dos seguintes itens. Esboce a região
.
é a região limitada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
, onde a região
é limitada por
,
e
. O conteúdo envolvido é integrais duplas e técnica de substituição em integrais simples; vamos precisar identificar corretamente os limites de integração e depois usar uma mudança de variável.
Passo 2
Primeiro, esboçamos a região
. A curva
equivale a
. Junto com
(eixo
) e
, isso nos mostra que
varia de 0 a 2 e, para cada
,
vai de 0 até
.
Passo 3
Com esses limites, escrevemos a integral em ordem
:
Como
não depende de
, a integral interna é simples:
Logo a integral fica
Passo 4
Agora usamos a substituição
, o que dá
ou
. Quando
,
; quando
,
. Assim
Calculando esta integral,