Imagine que você tenha um círculo com um raio de 7 cm . Como você pode demonstrar que a fórmula para o comprimento da circunferência é r?
Passo 1
O enunciado pede a demonstração da fórmula do comprimento da circunferência de raio 7 cm, mas de modo geral queremos mostrar que para qualquer raio r vale . O conteúdo envolve parametrização de curvas e o uso da integral de comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, a gente parametriza o círculo de raio no plano usando coordenadas polares. Definimos a função vetorial
Aqui, é o ângulo que varia de 0 a para percorrer toda a circunferência.
Passo 3
Em seguida, lembramos a fórmula de comprimento de uma curva em coordenadas paramétricas. Se é diferenciável, então o comprimento é
C = integral0^2pi r,dt = r integral0^2pi dt = rl[tr]0^2pi = r(2pi - 0) = 2pi r
Passo 7
Portanto, mostramos de forma geral que o comprimento de qualquer circunferência de raio r é C=2pi r. No caso específico de r=7,cm, teríamos C = 2pitimes7 = 14pi,cm
Resposta
A demonstração usando parametrização e integral de comprimento de arco conduz a C = 2pi r, e para r=7,cm dá C = 14pi,cm.