Imagine que você tenha um círculo com um raio de 7 cm . Como você pode demonstrar que a fórmula para o comprimento da circunferência é C=2 pi r?

Passo 1

O enunciado pede a demonstração da fórmula do comprimento da circunferência de raio 7 cm, mas de modo geral queremos mostrar que para qualquer raio r vale C = 2pi r. O conteúdo envolve parametrização de curvas e o uso da integral de comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, a gente parametriza o círculo de raio r no plano usando coordenadas polares. Definimos a função vetorial
r(t) = (rcos t,;rsin t), tin[0,2pi]
Aqui, t é o ângulo que varia de 0 a 2pi para percorrer toda a circunferência.

Passo 3

Em seguida, lembramos a fórmula de comprimento de uma curva em coordenadas paramétricas. Se r(t) é diferenciável, então o comprimento C é
C = integralt0^t1 llVert r'(t) rrVert ,dt

Passo 4

Agora, calculamos a derivada de r(t):
r'(t) = (-rsin t,;rcos t)
O próximo passo é achar o módulo dessa derivada:

Passo 5

Agrupando, temos
llVert r'(t) rrVert = raiz(-rsin t)^2 + (rcos t)^2 = raizr^2(sin^2 t + cos^2 t) = raizr^2 = r,
pois sin^2t+cos^2t=1 e r>0.

Passo 6

Agora substituímos na integral de comprimento:
C = integral0^2pi r,dt = r integral0^2pi dt = rl[tr]0^2pi = r(2pi - 0) = 2pi r

Passo 7

Portanto, mostramos de forma geral que o comprimento de qualquer circunferência de raio r é C=2pi r. No caso específico de r=7,cm, teríamos C = 2pitimes7 = 14pi,cm

Resposta

A demonstração usando parametrização e integral de comprimento de arco conduz a C = 2pi r, e para r=7,cm C = 14pi,cm.

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