Calcule a integral dupla integral0^1 integraly^1 2 e^x^2 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral0^1 integraly^1 2 e^x^2 ,dx,dy. O conteúdo envolve integrais duplas e, para resolver sem lidar com primitiva de e^x^2, vamos usar troca de ordem de integração.

Passo 2

A região de integração D é dada por 0 <= y <= 1 e y <= x <= 1. Para trocar a ordem, notamos que x varia de 0 até 1 e, para cada x, y varia de 0 até x.

Passo 3

Invertendo a ordem, a integral fica
integral0^1 integral0^x 2 e^x^2 ,dy,dx
Integrando primeiro em y, temos
integral0^1 l[yr]0^x,2 e^x^2 ,dx = integral0^1 2x,e^x^2 ,dx .

Passo 4

Para calcular integral0^1 2x,e^x^2 ,dx, usamos a substituição u = x^2, então du = 2x,dx. Os limites vão de u(0)=0 a u(1)=1, e a integral vira
integral0^1 e^u ,du = l[e^ur]0^1 = e - 1

Resposta

e - 1

Exercícios relacionados