Calcule a integral dupla
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral dupla que é assim:
. Isso envolve matéria de cálculo de integrais duplas e, pra facilitar, a gente vai trocar a ordem de integração. Vamos precisar entender como mudar os limites de integração e aplicar isso na nossa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. A integral original está com
variando de 0 a
e, para cada
,
varia de
até
. Isso significa que a área onde estamos integrando está acima da reta
e abaixo de
, entre 0 e
.
Passo 3
Agora, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de
variar primeiro, vamos deixar
variar de 0 a
e, para cada
,
vai de 0 até
. Então, a nova integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a
. Como
não depende de
, ela pode sair da integral:
Então, a integral dupla agora é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de
em relação a
de 0 a
. A integral de
é
, então:
Resposta
O valor da integral dupla é igual a
.