Calcule a integral dupla integral0^pi2 integralx^pi2 cos (y)y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral dupla que é assim: integral0^pi2 integralx^pi2 cos(y)y , dy , dx. Isso envolve matéria de cálculo de integrais duplas e, pra facilitar, a gente vai trocar a ordem de integração. Vamos precisar entender como mudar os limites de integração e aplicar isso na nossa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. A integral original está com x variando de 0 a pi2 e, para cada x, y varia de x até pi2. Isso significa que a área onde estamos integrando está acima da reta y = x e abaixo de y = pi2, entre 0 e pi2.

Passo 3

Agora, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de x variar primeiro, vamos deixar y variar de 0 a pi2 e, para cada y, x vai de 0 até y. Então, a nova integral fica:
integral0^pi2 integral0^y cos(y)y , dx , dy

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a x. Como cos(y)y não depende de x, ela pode sair da integral:
integral0^y cos(y)y , dx = cos(y)y cdot integral0^y dx = cos(y)y cdot y = cos(y)
Então, a integral dupla agora é:
integral0^pi2 cos(y) , dy

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de cos(y) em relação a y de 0 a pi2. A integral de cos(y) é sin(y), então:
integral0^pi2 cos(y) , dy = sin(pi2) - sin(0) = 1 - 0 = 1

Resposta

O valor da integral dupla é igual a 1.

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