Determine o(s) ponto(s) critico(s) da seguinte função e classifique-o(s) :
f(x, y)=x^3+3 x y^2-15 x-12 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os ponto(s) crítico(s) da função $ f(x, y) = x^{3} + 3x y^{2} - 15x - 12y $ e classificar cada um deles. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. Isso porque os pontos críticos ocorrem onde essas derivadas são iguais a zero.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
f
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Ou seja, resolver o sistema de equações:
3x^2 + 3y^2 - 15 = 0 6xy - 12 = 0
Vamos simplificar as equações:
Da segunda equação, podemos dividir ambos os lados por 6:
xy = 2 implies y = 2x
Agora, substituímos $ y = \frac{2}{x} $ na primeira equação:
y = 2x
Multiplicando toda a equação por $ x^{2} $ para eliminar o denominador:
3x^2 + 3(2x)^2 - 15 = 0 3x^2 + 3(4x^2) - 15 = 0 3x^2 + 12x^2 - 15 = 0
Dividindo toda a equação por 3:
x^2
Vamos fazer uma substituição $ z = x^{2} $:
3x^4 + 12 - 15x^2 = 0 3x^4 - 15x^2 + 12 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
x^4 - 5x^2 + 4 = 0
Então:
z = x^2
Voltando para $ x $:
z^2 - 5z + 4 = 0
Agora, encontramos os valores de $ x $. Vamos achar os correspondentes valores de $ y $ usando $ y = \frac{2}{x} $:
Para $ x = 2 $:
z = 5 pm raiz25 - 162 = 5 pm 32
Para $ x = -2 $:
z = 4 ou z = 1
Para $ x = 1 $:
x
Para $ x = -1 $:
x^2 = 4 implies x = pm 2 x^2 = 1 implies x = pm 1
Então, os pontos críticos são:
x

Passo 4

Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos das segundas derivadas parciais de $ f $:
f
O discriminante $ D $ é dado por:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6x fyy = partial^2 fpartial y^2 = 6x fxy = partial^2 fpartial x partial y = 6y
Vamos calcular $ D $ para cada ponto crítico.

Passo 5

Vamos analisar cada ponto:
  1. Ponto (2, 1):
fxx = 6(2) = 12 fyy = 6(2) = 12 fxy = 6(1) = 6 D = 12 times 12 - 6^2 = 144 - 36 = 108 > 0 fxx = 12 > 0 implies mínimo local í
  1. Ponto (-2, -1):
fxx = 6(-2) = -12 fyy = 6(-2) = -12 fxy = 6(-1) = -6 D = (-12) times (-12) - (-6)^2 = 144 - 36 = 108 > 0 fxx = -12 < 0 implies máximo local á
  1. Ponto (1, 2):
fxx = 6(1) = 6 fyy = 6(1) = 6 fxy = 6(2) = 12 D = 6 times 6 - 12^2 = 36 - 144 = -108 < 0 implies sela (ponto de sela)
  1. Ponto (-1, -2):
fxx = 6(-1) = -6 fyy = 6(-1) = -6 fxy = 6(-2) = -12 D = (-6) times (-6) - (-12)^2 = 36 - 144 = -108 < 0 implies sela (ponto de sela)

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • $ (2, 1) $: mínimo local
  • $ (-2, -1) $: máximo local
  • $ (1, 2) $ e $ (-1, -2) $: pontos de sela

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