Determine o(s) ponto(s) critico(s) da seguinte função e classifique-o(s) :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os ponto(s) crítico(s) da função $ f(x, y) = x^{3} + 3x y^{2} - 15x - 12y $ e classificar cada um deles. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. Isso porque os pontos críticos ocorrem onde essas derivadas são iguais a zero.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Ou seja, resolver o sistema de equações:
Vamos simplificar as equações:
Da segunda equação, podemos dividir ambos os lados por 6:
Agora, substituímos $ y = \frac{2}{x} $ na primeira equação:
Multiplicando toda a equação por $ x^{2} $ para eliminar o denominador:
Dividindo toda a equação por 3:
Vamos fazer uma substituição $ z = x^{2} $:
Resolvendo a equação quadrática:
Então:
Voltando para $ x $:
Agora, encontramos os valores de $ x $. Vamos achar os correspondentes valores de $ y $ usando $ y = \frac{2}{x} $:
Para $ x = 2 $:
Para $ x = -2 $:
Para $ x = 1 $:
Para $ x = -1 $:
Então, os pontos críticos são:
Passo 4
Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos das segundas derivadas parciais de $ f $:
O discriminante $ D $ é dado por:
Vamos calcular $ D $ para cada ponto crítico.
Passo 5
Vamos analisar cada ponto:
- Ponto (2, 1):
- Ponto (-2, -1):
- Ponto (1, 2):
- Ponto (-1, -2):
Resposta
Os pontos críticos da função são:
- $ (2, 1) $: mínimo local
- $ (-2, -1) $: máximo local
- $ (1, 2) $ e $ (-1, -2) $: pontos de sela