Calcule a integral dupla
onde
é a região do 10 quadrante do plano Cartesiano delimitada pelos gráficos das curvas
e
.
Passo 1
O exercício pede para calcular
, onde
é a região no 1º quadrante limitada pelas curvas
e
. Vamos usar conceitos de integrais duplas e descrição de região em coordenadas cartesianas.
Passo 2
No 1º quadrante, as curvas se intersectam quando
, ou seja
ou
. Logo,
varia de 0 a 1, e para cada
fixo,
varia de
até
. Montamos a integral iterada como
[
\int_{0}^{1} \int_{x{3}}{x} x y^{2},dy,dx
]
[
\int_{0}^{1} \int_{x{3}}{x} x y^{2},dy,dx
]
Passo 3
Vamos calcular primeiro a integral interna em
:
[
\int_{x{3}}{x} x y^{2},dy = x \biggl[\frac{y{3}}{3}\biggr]_{y=x{3}}^{y=x} = x\Bigl(\frac{x{3}}{3}-\frac{x{9}}{3}\Bigr) = \frac{x{4}}{3}-\frac{x{10}}{3}.
]
[
\int_{x{3}}{x} x y^{2},dy = x \biggl[\frac{y{3}}{3}\biggr]_{y=x{3}}^{y=x} = x\Bigl(\frac{x{3}}{3}-\frac{x{9}}{3}\Bigr) = \frac{x{4}}{3}-\frac{x{10}}{3}.
]
Passo 4
Agora integramos em
:
[
\int_{0}{1}\Bigl(\frac{x{4}}{3}-\frac{x^{10}}{3}\Bigr)dx = \frac{1}{3}\Bigl[\frac{x{5}}{5}-\frac{x{11}}{11}\Bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{3}\Bigl(\frac{1}{5}-\frac{1}{11}\Bigr) = \frac{6}{165} = \frac{2}{55}.
]
[
\int_{0}{1}\Bigl(\frac{x{4}}{3}-\frac{x^{10}}{3}\Bigr)dx = \frac{1}{3}\Bigl[\frac{x{5}}{5}-\frac{x{11}}{11}\Bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{3}\Bigl(\frac{1}{5}-\frac{1}{11}\Bigr) = \frac{6}{165} = \frac{2}{55}.
]