Calcule a integral dupla
integralR integral x y^2 d A
onde R é a região do 10 quadrante do plano Cartesiano delimitada pelos gráficos das curvas y=x e y=x^3.

Passo 1

O exercício pede para calcular integral duplaR x y^2,dA, onde R é a região no 1º quadrante limitada pelas curvas y=x e y=x^3. Vamos usar conceitos de integrais duplas e descrição de região em coordenadas cartesianas.

Passo 2

No 1º quadrante, as curvas se intersectam quando x^3=x, ou seja x=0 ou x=1. Logo, x varia de 0 a 1, e para cada x fixo, y varia de y=x^3 até y=x. Montamos a integral iterada como
[
\int_{0}^{1} \int_{x{3}}{x} x y^{2},dy,dx
]

Passo 3

Vamos calcular primeiro a integral interna em y:
[
\int_{x{3}}{x} x y^{2},dy = x \biggl[\frac{y{3}}{3}\biggr]_{y=x{3}}^{y=x} = x\Bigl(\frac{x{3}}{3}-\frac{x{9}}{3}\Bigr) = \frac{x{4}}{3}-\frac{x{10}}{3}.
]

Passo 4

Agora integramos em x:
[
\int_{0}{1}\Bigl(\frac{x{4}}{3}-\frac{x^{10}}{3}\Bigr)dx = \frac{1}{3}\Bigl[\frac{x{5}}{5}-\frac{x{11}}{11}\Bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{3}\Bigl(\frac{1}{5}-\frac{1}{11}\Bigr) = \frac{6}{165} = \frac{2}{55}.
]

Resposta

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