FRAÇÕES PARCIAIS
integral 1x^2-4 d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos resolver a integral de uma função racional: integral 1x^2-4 dx. Esse tipo de integral é resolvido usando a técnica de frações parciais, que nos ajuda a simplificar integrais de funções que são quocientes de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração 1x^2-4. Perceba que x^2-4 é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
x^2-4 = (x-2)(x+2)

Passo 3

Com o denominador fatorado, podemos decompor a fração em frações parciais. Queremos escrever:
1(x-2)(x+2) = Ax-2 + Bx+2
Aqui, A e B são constantes que precisamos encontrar para expressar a fração original como a soma dessas duas frações mais simples.

Passo 4

Para encontrar A e B, multiplicamos ambos os lados da equação por (x-2)(x+2), que é o denominador comum:
1 = A(x+2) + B(x-2)

Passo 5

Agora, vamos expandir os termos à direita da equação:
1 = A cdot x + 2A + B cdot x - 2B
Reorganizando os termos semelhantes:
1 = (A + B)x + (2A - 2B)

Passo 6

Para que a equação seja verdadeira para todo valor de x, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, estabelecemos o seguinte sistema de equações:
A + B = 0 2A - 2B = 1

Passo 7

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação: A = -B
  2. Substituindo A na segunda equação:
2(-B) - 2B = 1 Rightarrow -2B - 2B = 1 Rightarrow -4B = 1 Rightarrow B = -14
Então, A = -B = 14

Passo 8

Com os valores de A e B encontrados, podemos reescrever a fração original:
1x^2-4 = 14(1x-2 - 1x+2)

Passo 9

Agora, substituímos essa expressão na integral:
integral 1x^2-4 dx = 14 integral ( 1x-2 - 1x+2 ) dx

Passo 10

Finalmente, integramos termo a termo. A integral de 1x-a é ln|x-a|:
14 ( ln|x-2| - ln|x+2| ) + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral resolvida é:
integral 1x^2-4 dx = 14 ln|x-2x+2| + C

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