FRAÇÕES PARCIAIS
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos resolver a integral de uma função racional:
. Esse tipo de integral é resolvido usando a técnica de frações parciais, que nos ajuda a simplificar integrais de funções que são quocientes de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração
. Perceba que
é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
Passo 3
Com o denominador fatorado, podemos decompor a fração em frações parciais. Queremos escrever:
Aqui, A e B são constantes que precisamos encontrar para expressar a fração original como a soma dessas duas frações mais simples.
Passo 4
Para encontrar A e B, multiplicamos ambos os lados da equação por
, que é o denominador comum:
Passo 5
Agora, vamos expandir os termos à direita da equação:
Reorganizando os termos semelhantes:
Passo 6
Para que a equação seja verdadeira para todo valor de x, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, estabelecemos o seguinte sistema de equações:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
- Da primeira equação:
- Substituindo
na segunda equação:
Então,
Passo 8
Com os valores de A e B encontrados, podemos reescrever a fração original:
Passo 9
Agora, substituímos essa expressão na integral:
Passo 10
Finalmente, integramos termo a termo. A integral de
é
:
Onde C é a constante de integração.
Resposta
A integral resolvida é: