Considere as funções dadas abaixo. Para cada uma delas, determine, se houver:
- Os intervalos nos quais a função é crescente;
- Os intervalos nos quais a função é decrescente;
- Os intervalos nos quais a função é côncava para cima;
- Os intervalos nos quais a função é côncava para baixo;
- Os valores de
nos quais a função tem extremos locais ou globais;
- Os pontos de inflexão;
- Os limites infinitos.
Depois, esboce o gráfico da função em um sistema de eixos cartesianos, com cuidado, para mostrar o comportamento da função. Desenhe também as retas tangentes nos pontos de inflexão.
Depois, esboce o gráfico da função em um sistema de eixos cartesianos, com cuidado, para mostrar o comportamento da função. Desenhe também as retas tangentes nos pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função
e determinar seus intervalos de crescimento e decréscimo, concavidade, extremos locais e globais, pontos de inflexão, limites infinitos e esboçar seu gráfico. Vamos usar análise de primeira e segunda derivadas para monotonicidade e concavidade, além de cálculo de limites para o comportamento em
.
Passo 2
Calcule a derivada primeira e identifique onde ela se anula para estudar monotonicidade:
Resolvendo
:
isto é,
e
.
Como , o sinal de
é
– positivo em ,
– negativo em ,
– positivo em .
Logo,
f é crescente em
e decrescente em .
Como
– positivo em
– negativo em
– positivo em
Logo,
f é crescente em
e decrescente em
Passo 3
Calcule a derivada segunda para estudar a concavidade:
Resolvendo
dá
. Como
para
e
para
, temos:
f é côncava para baixo em
e côncava para cima em .
f é côncava para baixo em
e côncava para cima em
Passo 4
Classifique os pontos críticos
e
usando
:
– Em ,
, logo há máximo local.
– Em
– Em
,
, logo há mínimo local.
Não há extremos globais pois
e
.
Passo 5
O ponto de inflexão ocorre em
. Seu valor é
A reta tangente ali tem coeficiente angular
e equação
Passo 6
Calcule os limites em
:
Passo 7
Esboce o gráfico reconhecendo o formato de um cúbico com coeficiente líder positivo:
– Cresce até , faz um pico em
;
– Decresce até , faz um vale em
;
– Cresce para ;
– Inflexão em , onde a reta tangente tem equação dada acima.
– Cresce até
– Decresce até
– Cresce para
– Inflexão em
Resposta
Crescente em
Decrescente em
Côncava para cima em
Côncava para baixo em
Máximo local em
Mínimo local em
Nenhum extremo global
Ponto de inflexão em , reta tangente
,
Decrescente em
Côncava para cima em
Côncava para baixo em
Máximo local em
Mínimo local em
Nenhum extremo global
Ponto de inflexão em