Considere as funções dadas abaixo. Para cada uma delas, determine, se houver:
  • Os intervalos nos quais a função é crescente;
  • Os intervalos nos quais a função é decrescente;
  • Os intervalos nos quais a função é côncava para cima;
  • Os intervalos nos quais a função é côncava para baixo;
  • Os valores de x nos quais a função tem extremos locais ou globais;
  • Os pontos de inflexão;
  • Os limites infinitos.
    Depois, esboce o gráfico da função em um sistema de eixos cartesianos, com cuidado, para mostrar o comportamento da função. Desenhe também as retas tangentes nos pontos de inflexão.
    f(x)=x^3+x^2-5 x+3

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função
f(x)=x^3+x^2-5x+3
e determinar seus intervalos de crescimento e decréscimo, concavidade, extremos locais e globais, pontos de inflexão, limites infinitos e esboçar seu gráfico. Vamos usar análise de primeira e segunda derivadas para monotonicidade e concavidade, além de cálculo de limites para o comportamento em pminfty.

Passo 2

Calcule a derivada primeira e identifique onde ela se anula para estudar monotonicidade:
f'(x)=3x^2+2x-5
Resolvendo f'(x)=0:
3x^2+2x-5=0 Longrightarrow x=-2pmraiz4+606 =-2pm86,
isto é, x=-tfrac53 e x=1.
Como f'(x)=3(x+tfrac53)(x-1), o sinal de f' é
– positivo em (-infty,-tfrac53),
– negativo em (-tfrac53,1),
– positivo em (1,infty).
Logo,
f é crescente em l(-infty,-tfrac53r)cupl(1,inftyr)
e decrescente em l(-tfrac53,1r).

Passo 3

Calcule a derivada segunda para estudar a concavidade:
f''(x)=6x+2
Resolvendo f''(x)=0 x=-tfrac13. Como f''(x)<0 para x<-tfrac13 e f''(x)>0 para x>-tfrac13, temos:
f é côncava para baixo em l(-infty,-tfrac13r)
e côncava para cima em l(-tfrac13,inftyr).

Passo 4

Classifique os pontos críticos x=-tfrac53 e x=1 usando f'':
– Em x=-tfrac53, f''(-tfrac53)=6(-tfrac53)+2=-8<0, logo há máximo local.
fl(-tfrac53r) =-12527+7527+22527+8127 =25627
– Em x=1, f''(1)=8>0, logo há mínimo local.
f(1)=1+1-5+3=0
Não há extremos globais pois limxtoinftyf(x)=infty e limxto-inftyf(x)=-infty.

Passo 5

O ponto de inflexão ocorre em x=-tfrac13. Seu valor é
fl(-tfrac13r) =-tfrac127+tfrac19+tfrac53+3 =tfrac12827
A reta tangente ali tem coeficiente angular
m=f'l(-tfrac13r) =3l(-tfrac13r)^2+2l(-tfrac13r)-5 =-tfrac163,
e equação
y-12827 =-163 l(x+13r) Longrightarrow y=-163x+8027

Passo 6

Calcule os limites em pminfty:
limxtoinftyf(x)=infty, limxto-inftyf(x)=-infty

Passo 7

Esboce o gráfico reconhecendo o formato de um cúbico com coeficiente líder positivo:
– Cresce até x=-tfrac53, faz um pico em l(-tfrac53,tfrac25627r);
– Decresce até x=1, faz um vale em (1,0);
– Cresce para infty;
– Inflexão em l(-tfrac13,tfrac12827r), onde a reta tangente tem equação dada acima.

Resposta

Crescente em (-infty,-tfrac53)cup(1,infty)
Decrescente em (-tfrac53,1)
Côncava para cima em (-tfrac13,infty)
Côncava para baixo em (-infty,-tfrac13)
Máximo local em l(-tfrac53,tfrac25627r)
Mínimo local em (1,0)
Nenhum extremo global
Ponto de inflexão em l(-tfrac13,tfrac12827r), reta tangente y=-tfrac163x+tfrac8027
limxtoinftyf(x)=infty, limxto-inftyf(x)=-infty

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