Considere as funções dadas abaixo. Para cada uma delas, determine, se houver:
- Os intervalos nos quais a função é crescente;
- Os intervalos nos quais a função é decrescente;
- Os intervalos nos quais a função é côncava para cima;
- Os intervalos nos quais a função é côncava para baixo;
- Os valores de
nos quais a função tem extremos locais ou globais;
- Os pontos de inflexão;
- Os limites infinitos.
Depois, esboce o gráfico da função em um sistema de eixos cartesianos, com cuidado, para mostrar o comportamento da função. Desenhe também as retas tangentes nos pontos de inflexão.
Depois, esboce o gráfico da função em um sistema de eixos cartesianos, com cuidado, para mostrar o comportamento da função. Desenhe também as retas tangentes nos pontos de inflexão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai analisar a função $ f(x) = x^{3} - 12x $ para descobrir onde ela está aumentando, diminuindo, sua concavidade, extremos, pontos de inflexão e limites. Vamos usar cálculo diferencial, ou seja, derivadas, pra isso. Precisaremos calcular a primeira e a segunda derivadas da função, que vão nos ajudar a entender o comportamento dela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, onde a função está crescendo ou decrescendo.
A função é:
Derivando em relação a $ x $:
Passo 3
Agora, vamos analisar a primeira derivada $ f’(x) = 3x^{2} - 12 $ para determinar onde a função é crescente ou decrescente.
- Crescente: quando $ f’(x) > 0 $
- Decrescente: quando $ f’(x) < 0 $
Primeiro, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Agora, vamos testar intervalos em torno desses pontos para ver o sinal da derivada:
- Para $ x < -2 $, por exemplo, $ x = -3 $:
Então, a função é crescente nesse intervalo.
- Para $ -2 < x < 2 $, por exemplo, $ x = 0 $:
Então, a função é decrescente nesse intervalo.
- Para $ x > 2 $, por exemplo, $ x = 3 $:
Então, a função é crescente nesse intervalo.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os extremos locais, que são os pontos onde a função tem um valor máximo ou mínimo.
Já encontramos os pontos críticos em $ x = -2 $ e $ x = 2 $.
Para saber se são máximos ou mínimos, vamos analisar a derivada:
-
Em $ x = -2 $:
- Antes de -2 (por exemplo, $ x = -3 $): $ f’(-3) > 0 $ (crescente)
- Depois de -2 (por exemplo, $ x = 0 $): $ f’(0) < 0 $ (decrescente)
Então, há um máximo local em $ x = -2 $. -
Em $ x = 2 $:
- Antes de 2 (por exemplo, $ x = 0 $): $ f’(0) < 0 $ (decrescente)
- Depois de 2 (por exemplo, $ x = 3 $): $ f’(3) > 0 $ (crescente)
Então, há um mínimo local em $ x = 2 $.
Para encontrar os valores dos extremos, substituímos $ x $ na função original:
- Máximo em $ x = -2 $:
- Mínimo em $ x = 2 $:
Passo 5
Vamos agora calcular a segunda derivada para analisar a concavidade da função e encontrar os pontos de inflexão.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
A concavidade é determinada pelo sinal da segunda derivada:
- Côncava para cima: quando $ f’’(x) > 0 $ (sinal de concavidade voltado para cima)
- Côncava para baixo: quando $ f’’(x) < 0 $ (sinal de concavidade voltado para baixo)
Igualamos a segunda derivada a zero para encontrar possíveis pontos de inflexão:
Vamos testar o sinal da segunda derivada nos intervalos:
- Para $ x < 0 $, por exemplo, $ x = -1 $:
Então, a função é côncava para baixo nesse intervalo.
- Para $ x > 0 $, por exemplo, $ x = 1 $:
Então, a função é côncava para cima nesse intervalo.
Portanto, há um ponto de inflexão em $ x = 0 $.
Passo 6
Agora, vamos determinar os limites da função quando $ x $ tende a mais e menos infinito.
Função:
-
Quando $ x \to +\infty $:
-
Quando $ x \to -\infty $:
Isso nos mostra que a função cresce sem limites positivos quando $ x $ aumenta e decresce sem limites quando $ x $ diminui.
Passo 7
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função $ f(x) = x^{3} - 12x $ com base nas informações que encontramos:
-
Pontos críticos:
- Máximo local em $ (-2, 16) $
- Mínimo local em $ (2, -16) $
-
Ponto de inflexão:
- Em $ (0, 0) $
-
Concavidade:
- Côncava para baixo em $ x < 0 $
- Côncava para cima em $ x > 0 $
-
Limites:
- $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $
- $ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty $
Para desenhar o gráfico:
- Marque os pontos $ (-2, 16) $, $ (2, -16) $ e $ (0, 0) $.
- Mostre que a função sobe antes de $ x = -2 $, desce entre $ -2 $ e $ 2 $, e sobe novamente após $ x = 2 $.
- Indique a concavidade: para baixo antes de $ x = 0 $ e para cima depois.
- Desenhe a reta tangente no ponto de inflexão $ (0, 0) $. A inclinação dessa reta é dada pela derivada naquele ponto:
Então, a reta tangente é:
Resposta
Analisando todas as informações, a função $ f(x) = x^{3} - 12x $ apresenta:
- Crescente nos intervalos $ (-\infty, -2) $ e $ (2, +\infty) $
- Decrescente no intervalo $ (-2, 2) $
- Côncava para baixo em $ (-\infty, 0) $
- Côncava para cima em $ (0, +\infty) $
- Máximo local em $ (-2, 16) $ e mínimo local em $ (2, -16) $
- Ponto de inflexão em $ (0, 0) $
- Limites infinitos: $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $ e $ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty $
O gráfico da função mostra uma curva que sobe, desce, e sobe novamente, com uma reta tangente de inclinação -12 no ponto de inflexão $ (0, 0) $.