Calcule a integral dupla iterada:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{y}{1+x y} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{y}{1+xy}\,dx\,dy.
O método é primeiro integrar em x (tratando y como constante) e depois integrar o resultado em y. Vamos usar substituição na integral interna e, em seguida, integração por partes na integral que sobra.

Passo 2

Calculemos a integral interna em x:
\int_{0}^{1}\frac{y}{1+xy}\,dx.
Fazendo a substituição u=1+xy, temos du=y\,dx, logo dx=\frac{du}{y}. Quando x=0, u=1; quando x=1, u=1+y. Assim,
\int_{0}^{1}\frac{y}{1+xy}\,dx =\int_{u=1}^{1+y}\frac{y}{u}\cdot\frac{du}{y} =\int_{1}^{1+y}\frac{1}{u}\,du =\bigl[\ln u\bigr]_{1}^{1+y} =\ln(1+y).

Passo 3

Portanto a integral dupla se reduz a
\int_{0}^{1}\ln(1+y)\,dy.
Para essa integral, aplicamos integração por partes, escolhendo
u=\ln(1+y),\quad dv=dy,
de onde
du=\frac{1}{1+y}\,dy,\quad v=y.
Pela fórmula \int u\,dv=uv-\int v\,du, obtemos
\int \ln(1+y)\,dy =y\ln(1+y)-\int \frac{y}{1+y}\,dy.

Passo 4

Calculamos agora
\int \frac{y}{1+y}\,dy.
Note que
\frac{y}{1+y} =1-\frac{1}{1+y},
logo
\int \frac{y}{1+y}\,dy =\int\!1\,dy-\int\frac{1}{1+y}\,dy =y-\ln(1+y).
Substituindo de volta em \int \ln(1+y)\,dy temos
\int \ln(1+y)\,dy =y\ln(1+y)-\bigl(y-\ln(1+y)\bigr) =(y+1)\ln(1+y)-y.

Passo 5

Agora aplicamos os limites de 0 a 1:
\left[(y+1)\ln(1+y)-y\right]_{0}^{1} =\bigl[2\ln 2-1\bigr]-\bigl[1\cdot\ln1-0\bigr] =2\ln2-1.

Resposta

2\ln 2 - 1

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