Cilindros perfeitamente condutores de raios de 8 mm e 20 mm são coaxiais. A região entre esses cilindros está preenchida com um dielétrico perfeito para o qual \varepsilon=10^{-9} / 4 \pi \mathrm{F} / \mathrm{m} e \mu_{\mathrm{r}}=1. Se \mathscr{E} nessa região vale (500 / \rho) \cos (\omega \mathrm{t}-4 z) \mathbf{a}_{\rho} \mathrm{V} / \mathrm{m}, calcule: (a) \omega, com o auxílio das equações de Maxwell em coordenadas cilíndricas; (b) \mathscr{H}(\rho, z, t) ;\text{(c)}\langle\mathbf{S}(\rho, z, t)\rangle; (d) a potência média que passa por toda a seção reta 8<\rho<20 \mathrm{~mm}, 0<\varnothing<2 \pi.

Passo 1

O enunciado descreve um modo TEM que se propaga ao longo do eixo z num cabo coaxial de raios interno a=8\\ \text{mm} e externo b=20\\ \text{mm}. O dielétrico tem
\varepsilon = \frac{10^{-9}}{4\pi}\\ \mathrm{F/m},\quad \mu = \mu_r\mu_0 = 1\cdot4\pi\cdot10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
O campo elétrico é
\mathbf{E}(\rho,z,t) = \frac{500}{\rho}\cos\bigl(\omega t - 4z\bigr)\,\mathbf{a}_\rho\quad [\mathrm{V/m}],
logo a constante de propagação é \beta=4\\ \mathrm{rad/m}. Vamos usar a relação de modo TEM
\beta^2 = \omega^2\mu\varepsilon
para achar \omega, depois obter \mathbf{H} pela impedância do meio, em seguida calcular \mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H} e sua média, e finalmente a potência média atravessando a região a<\rho<b, 0<\varphi<2\pi.

Passo 2

Para (a), usar \beta^2 = \omega^2\mu\varepsilon. Como \beta=4, tem-se
\omega = \frac{\beta}{\sqrt{\mu\varepsilon}}
e
\mu\varepsilon = \bigl(4\pi\cdot10^{-7}\bigr)\,\frac{10^{-9}}{4\pi} = 10^{-16}, \qquad \sqrt{\mu\varepsilon}=10^{-8}.
Logo
\omega = \frac{4}{10^{-8}} = 4\times10^{8}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Para (b), no modo TEM em um dielétrico uniforme a impedância do meio é
\eta = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} = \sqrt{\frac{4\pi\cdot10^{-7}}{10^{-9}/(4\pi)}} = 40\pi\\ \Omega.
Como \mathbf{E} está em \mathbf{a}_\rho e a onda viaja em +\mathbf{a}_z, segue
\mathbf{H} = \frac{1}{\eta}\,\mathbf{a}_z\times\mathbf{E} = \frac{1}{40\pi}\,\frac{500}{\rho}\cos(\omega t - 4z)\,\mathbf{a}_\varphi = \frac{500}{40\pi\,\rho}\cos(\omega t - 4z)\,\mathbf{a}_\varphi\\ \mathrm{A/m}.

Passo 4

Para (c), o vetor de Poynting instantâneo é
\mathbf{S} = \mathbf{E}\times\mathbf{H} = \frac{500}{\rho}\cos(\omega t - 4z)\,\mathbf{a}_\rho \times \frac{500}{40\pi\,\rho}\cos(\omega t - 4z)\,\mathbf{a}_\varphi = \frac{500^2}{40\pi\,\rho^2}\cos^2(\omega t - 4z)\,\mathbf{a}_z.
A média temporal satisfaz \langle\cos^2\rangle=1/2, então
\bigl\langle\mathbf{S}\bigr\rangle = \frac{500^2}{40\pi\,\rho^2}\,\frac12\,\mathbf{a}_z = \frac{6250}{\pi\,\rho^2}\,\mathbf{a}_z\quad[\mathrm{W/m^2}].

Passo 5

Para (d), a potência média através da seção a<\rho<b,\\\ 0<\varphi<2\pi é
P_{\rm m} = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{a}^{b} \Bigl\langle S_z\Bigr\rangle\,\rho\,d\rho\,d\varphi = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{a}^{b} \frac{6250}{\pi\,\rho^2}\,\rho\,d\rho\,d\varphi = \frac{6250}{\pi}\,2\pi\int_{a}^{b}\frac{d\rho}{\rho} = 6250\ln\frac{b}{a}.
Com a=0{,}008\\ \mathrm m e b=0{,}020\\ \mathrm m,
P_{\rm m} = 6250\ln\frac{0{,}020}{0{,}008} \approx 6250\ln(2{,}5) \approx 6250\times0{,}9163 \approx 5{,}73\times10^{3}\\ \mathrm W.

Resposta

(a) \displaystyle \omega = 4\times10^{8}\\ \mathrm{rad/s}.\n
(b) \displaystyle \mathbf{H}(\rho,z,t) = \frac{500}{40\pi\,\rho}\cos(\omega t - 4z)\,\mathbf{a}_\varphi\\ \mathrm{A/m}.\n
(c) \displaystyle \bigl\langle\mathbf{S}(\rho,z,t)\bigr\rangle = \frac{6250}{\pi\,\rho^2}\,\mathbf{a}_z\\ \mathrm{W/m^2}.\n
(d) \displaystyle P_{\rm m} = 6250\ln\frac{20\,\text{mm}}{8\,\text{mm}}\approx5{,}73\times10^{3}\\ \mathrm W.

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