Uma onda plana uniforme de 100 MHz em um meio considerado um bom dielétrico possui um campo elétrico fasorial da forma: \mathbf{E}_{\mathrm{s}}=4 e^{-0,5 \mathrm{z}} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 20 \mathrm{z}} \mathbf{a}_{\mathrm{x}} \mathrm{V} / \mathrm{m}. Determine: (a) \varepsilon^{\prime}; (b) \varepsilon^{\prime \prime}; (c) \eta; (d) \mathbf{H}_{s}; (e) \langle\mathbf{S}\rangle; (f) a potência em watts que incide na superfície retangular que mede 20 \times 30 \mathrm{~m} \mathrm{em} \mathrm{z}=10 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado nos dá uma onda plana em um meio dielétrico com frequência \,f=100\,\mathrm{MHz} e campo elétrico fasorial
\mathbf{E}_{s}(z)=4\,e^{-0{,}5z}\,e^{-j\,20z}\,\mathbf{a}_{x}\quad[\mathrm{V/m}].
Daí extraímos a constante de propagação
\gamma=\alpha+j\beta=0{,}5+j\,20\quad[\mathrm{m^{-1}}],
e sabemos que, por se tratar de bom dielétrico, \mu=\mu_{0} e valem as aproximações
\beta\approx\omega\sqrt{\mu_{0}\,\varepsilon'}\quad\text{e}\quad \alpha\approx\frac{\sigma}{2}\sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon'}}.
Vamos usar \omega=2\pi f e \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m}.

Passo 2

Cálculo de \varepsilon'. Pela relação \beta\approx\omega\sqrt{\mu_{0}\varepsilon'} temos
\varepsilon'=\frac{1}{\mu_{0}}\Bigl(\frac{\beta}{\omega}\Bigr)^{2}.
Substituindo \beta=20, \omega=2\pi\times10^{8} e \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}, resulta
\varepsilon'=8{,}06\times10^{-10}\,\mathrm{F/m}.

Passo 3

Cálculo de \varepsilon''. Primeiro achamos a condutividade \sigma em
\sigma\approx2\,\alpha\sqrt{\frac{\varepsilon'}{\mu_{0}}},
ou seja
\sigma=2\cdot0{,}5\sqrt{\frac{8{,}06\times10^{-10}}{4\pi\times10^{-7}}} =0{,}0253\;\mathrm{S/m},
e daí
\varepsilon''=\frac{\sigma}{\omega} =\frac{0{,}0253}{2\pi\times10^{8}} =4{,}03\times10^{-11}\,\mathrm{F/m}.

Passo 4

Cálculo da impedância intrínseca \eta. Em geral
\eta=\sqrt{\frac{j\omega\mu_{0}}{\sigma+j\omega\varepsilon'}}
e, para bom dielétrico, aproxima-se por
\eta\approx\sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon'}} \Bigl(1 - j\,\frac{\sigma}{2\omega\varepsilon'}\Bigr).
Numericamente \sqrt{\mu_{0}/\varepsilon'}=39{,}48\,\Omega e \sigma/(2\omega\varepsilon')=0{,}02499, logo
\eta=39{,}48\,(1 - j\,0{,}02499) =39{,}48 - j\,0{,}987\;\Omega.

Passo 5

Cálculo de \mathbf{H}_{s}. Num plano de propagação em +z com \mathbf{E}\parallel\mathbf{a}_{x}, vale
\mathbf{H}_{s}=\frac{1}{\eta}\,\mathbf{a}_{y}\times\bigl(\mathbf{a}_{z}\times\mathbf{E}_{s}\bigr) =\frac{\mathbf{E}_{s}}{\eta}\,\mathbf{a}_{y}.
Assim
\mathbf{H}_{s}(z) =\frac{4}{39{,}48 - j\,0{,}987}\;e^{-0{,}5z}\,e^{-j\,20z}\;\mathbf{a}_{y} \quad[\mathrm{A/m}].

Passo 6

Cálculo do vetor de Poynting médio \langle\mathbf{S}\rangle. Usa-se
\langle\mathbf{S}\rangle =\tfrac12\Re\{\mathbf{E}_{s}\times\mathbf{H}_{s}^{*}\} =\frac{|E|^{2}}{2\,|\eta|}\,\mathbf{a}_{z}.
Como |E|=4\,e^{-0{,}5z} e |\eta|\approx39{,}50\,\Omega, resulta
\langle\mathbf{S}\rangle =\frac{16\,e^{-z}}{2\cdot39{,}50}\,\mathbf{a}_{z} =0{,}202\,e^{-z}\,\mathbf{a}_{z} \quad[\mathrm{W/m^{2}}].

Passo 7

Potência incidente na superfície retangular de área A=20\times30=600\,\mathrm{m^{2}} em z=10\,\mathrm{m}. Tem-se
\langle S_{z}\rangle(10) =0{,}202\,e^{-10}=9{,}18\times10^{-6}\,\mathrm{W/m^{2}},
portanto
P=\langle S_{z}\rangle(10)\,A =9{,}18\times10^{-6}\times600 =5{,}51\times10^{-3}\,\mathrm{W}.

Resposta

a) \varepsilon'=8{,}06\times10^{-10}\,\mathrm{F/m}.
b) \varepsilon''=4{,}03\times10^{-11}\,\mathrm{F/m}.
c) \eta=39{,}48 - j\,0{,}987\;\Omega.
d) \displaystyle \mathbf{H}_{s}(z)=\frac{4}{39{,}48 - j\,0{,}987}\;e^{-0{,}5z}\,e^{-j\,20z}\,\mathbf{a}_{y}\;\mathrm{A/m}.
e) \displaystyle \langle\mathbf{S}\rangle=0{,}202\,e^{-z}\,\mathbf{a}_{z}\;\mathrm{W/m^{2}}.
f) P=5{,}51\times10^{-3}\;\mathrm{W}.

Exercícios relacionados