Em retângulos é muito comum integrar numa ordem que torne a integral interna mais simples. Se f(x,y) é produto de função só de x por função só de y, podemos separar:
Outra observação útil: se a integral interna (em y) é de uma função ímpar em y sobre um intervalo simétrico [-L,L], ela é zero. Vou usar esses princípios caso a caso. Agora aplico tudo nos itens.
Passo 3
(a) Resolver \iint_{R} \bigl(6 y \sqrt{x}-2 y^{3}\bigr)\,dA em R=[1,4]\times[0,3].
Escrevo como integral iterada integrando primeiro em x:
\int_{y=0}^{3}\int_{x=1}^{4} \bigl(6 y x^{1/2}-2 y^{3}\bigr)\,dx\,dy.
Integro em x. Lembrete rápido: \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C. Aqui x^{1/2} tem antiderivada \frac{2}{3}x^{3/2}.
\int \bigl(6 y x^{1/2}-2 y^{3}\bigr)\,dx =6y\cdot\frac{2}{3}x^{3/2}-2y^{3}x =4y x^{3/2}-2y^{3}x.
O último parêntese é \tfrac{1}{2}, então dá 3\cdot \tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}.
Conclusão: o valor da integral é
\frac{1-e^{-1}}{2}\ln 2 +\frac{3}{2}.
Passo 5
(c) O enunciado do item (c) é idêntico ao do item (b): \iint_{R} \frac{e^{x}}{2 y}-\frac{4 x-1}{y^{2}}\,dA com R=[-1,0]\times[1,2]. Portanto o cálculo e o resultado são os mesmos do item (b). Logo o valor é
\frac{1-e^{-1}}{2}\ln 2 +\frac{3}{2}.
Passo 6
(d) Resolver \iint_{R} x y \cos\left(x y^{2}\right)\,dA em R=[-2,3]\times[-1,1].
Observação de simetria (truque muito útil): para cada x fixo, considere a função de y
g(y)=x y \cos\bigl(x y^{2}\bigr).
Note que \cos(x y^{2}) depende de y^{2}, logo é uma função par em y (ou seja, \cos(x y^{2}) = \cos(x(-y)^{2})). Multiplicando por y torna-se uma função ímpar em y (pois y muda de sinal quando y\mapsto -y enquanto a parte do cosseno permanece igual). Assim g(-y)=-g(y).
Integro em y no intervalo simétrico [-1,1]. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero:
\int_{-1}^{1} x y \cos(x y^{2})\,dy =0\quad\text{para todo }x.
Como a integral interna em y é zero para cada x, a integral dupla sobre todo o retângulo é zero:
\iint_{R} x y \cos(x y^{2})\,dA =0.
Passo 7
(e) Resolver \iint_{R} x \ln y\,dA em R=[0,2]\times[1,2].
Separação de variáveis: x\ln y é produto de função só de x por função só de y. Faço a integral em x primeiro:
\int_{y=1}^{2}\int_{x=0}^{2} x\ln y\,dx\,dy =\int_{1}^{2} \ln y \left(\int_{0}^{2} x\,dx\right)\,dy.
Calculo \int_{0}^{2} x\,dx = \tfrac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{2}=\tfrac{4}{2}=2. Então a integral vira
\int_{1}^{2} 2\ln y\,dy.
Lembrete: \int \ln y\,dy = y\ln y - y + C. Portanto
2\int_{1}^{2}\ln y\,dy =2\bigl[y\ln y - y\bigr]_{1}^{2}.
(f) Resolver \iint_{R} x y e^{x^{2}-y^{2}}\,dA em R=[-1,1]\times[0,3].
Observe a simetria em x: para cada y fixo, a função em x é
h(x)=x y e^{x^{2}-y^{2}}.
A parte e^{x^{2}-y^{2}} é função de x^{2}, portanto é par em x. Multiplicando por x torna-se função ímpar em x. Logo h(-x)=-h(x).
O intervalo em x é simétrico [-1,1]. Assim a integral em x para cada y é zero:
\int_{-1}^{1} x y e^{x^{2}-y^{2}}\,dx =0\quad\text{para todo }y.
Portanto a integral dupla sobre o retângulo é zero:
\iint_{R} x y e^{x^{2}-y^{2}}\,dA =0.
Passo 9
(g) Resolver \iint_{R} \frac{x y \sin x}{1+4 y^{2}}\,dA em R=\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\times[0,1].
Observação: a função é produto de algo que depende só de x por algo que depende só de y:
\frac{x y \sin x}{1+4 y^{2}} = \bigl(x\sin x\bigr)\cdot\frac{y}{1+4y^{2}}.
Num retângulo, podemos separar as integrais:
\iint_{R} \frac{x y \sin x}{1+4 y^{2}}\,dA =\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\sin x\,dx\right)\left(\int_{0}^{1}\frac{y}{1+4y^{2}}\,dy\right).
Calculo da parte em x: I_{x}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\sin x\,dx. Uso integração por partes. Regra: com u=x, dv=\sin x\,dx temos du=dx, v=-\cos x. Então
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx = -x\cos x + \sin x + C.
Calculo da parte em y: I_{y}=\int_{0}^{1}\frac{y}{1+4y^{2}}\,dy. Faço substituição simples. Tome u=1+4y^{2}, então du=8y\,dy ou y\,dy=\tfrac{1}{8}\,du. Quando y=0, u=1. Quando y=1, u=5. Assim