Colocar os limites de integração na integral dupla
onde a região de integração
está delimitada pelas desigualdades:
Passo 1
O enunciado pede que a gente escreva os limites de integração da integral dupla
onde a região
é dada pelas desigualdades
Resumindo: queremos expressar a integral sobre
como uma integral iterada, isto é, escolher uma ordem de integração (primeiro
depois
ou primeiro
depois
) e determinar os limites de cada integral interna e externa.
Passo 2
Vamos entender geometricamente a região
(isso ajuda muito para achar os limites). As três desigualdades dizem:
é o semiplano à direita do eixo
;
é o semiplano acima do eixo
;
é a região abaixo (ou à esquerda) da reta de equação
.
Interseções importantes:
E o ponto
também pertence (pela condição
). Portanto
é o triângulo com vértices
,
e
, limitado pelos eixos e pela reta
.
Passo 3
Agora vamos colocar os limites para a ordem de integração em que integramos primeiro em
e depois em
, ou seja,
.
Como fixamos um
qualquer dentro da região, devemos ver quais valores
pode assumir para esse
. Pelas desigualdades:
e
Portanto, para um
fixo,
varia entre o limite inferior
e o limite superior
. Agora precisamos do intervalo de
possível: olhando para o triângulo,
vai de
até
. Assim os limites são:
Explicando as variáveis:
é a variável da integral externa (vai de
a
); para cada
fixo a variável interna
vai de
até
.
Passo 4
Agora a ordem inversa: integramos primeiro em
e depois em
, ou seja,
.
Fixando um
dentro da região, das desigualdades temos
e
Assim, para um
fixo,
varia entre
e
. O intervalo possível para
no triângulo é de
a
. Logo os limites são:
Aqui
é a variável externa (vai de
a
) e para cada
fixo
varia de
a
.
Passo 5
Fazer um checagem rápida com um exemplo simples ajuda a ganhar confiança: tome
. Ambas as formas devem dar a área do triângulo, que conhecemos ser
.
Usando a ordem
:
Usando a ordem
:
As duas formas coincidem, ótimo — os limites estão corretos.
Passo 6
Dica prática para a prova: escolha a ordem que torne a integral interna mais simples (por exemplo, que evite dependência complicada entre
e
no integrando). Para regiões triangulares como esta, as duas ordens costumam ser igualmente simples. Respira fundo: você já conseguiu entender e montar os limites!