Colocar os limites de integração na integral dupla
\iint_{K} f(x, y) d A,
onde a região de integração K está delimitada pelas desigualdades:
x \geq 0, y \geq 0, x+y \leq 1

Passo 1

O enunciado pede que a gente escreva os limites de integração da integral dupla
\iint_{K} f(x,y)\,dA,
onde a região K é dada pelas desigualdades
x \ge 0,\qquad y \ge 0,\qquad x+y \le 1.
Resumindo: queremos expressar a integral sobre K como uma integral iterada, isto é, escolher uma ordem de integração (primeiro y depois x ou primeiro x depois y) e determinar os limites de cada integral interna e externa.

Passo 2

Vamos entender geometricamente a região K (isso ajuda muito para achar os limites). As três desigualdades dizem:
x\ge 0
é o semiplano à direita do eixo y;
y\ge 0
é o semiplano acima do eixo x;
x+y\le 1
é a região abaixo (ou à esquerda) da reta de equação x+y=1.
Interseções importantes:
\text{quando }y=0\text{, da reta }x+y=1\text{ obtemos }x=1\Rightarrow (1,0).
\text{quando }x=0\text{, da reta }x+y=1\text{ obtemos }y=1\Rightarrow (0,1).
E o ponto (0,0) também pertence (pela condição x\ge0,y\ge0). Portanto K é o triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (0,1), limitado pelos eixos e pela reta x+y=1.

Passo 3

Agora vamos colocar os limites para a ordem de integração em que integramos primeiro em y e depois em x, ou seja, dA = dy\,dx.
Como fixamos um x qualquer dentro da região, devemos ver quais valores y pode assumir para esse x. Pelas desigualdades:
y\ge 0
e
x+y\le 1 \Longrightarrow y \le 1-x.
Portanto, para um x fixo, y varia entre o limite inferior y=0 e o limite superior y=1-x. Agora precisamos do intervalo de x possível: olhando para o triângulo, x vai de 0 até 1. Assim os limites são:
\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{1-x} f(x,y)\,dy\right)dx.
Explicando as variáveis: x é a variável da integral externa (vai de 0 a 1); para cada x fixo a variável interna y vai de 0 até 1-x.

Passo 4

Agora a ordem inversa: integramos primeiro em x e depois em y, ou seja, dA = dx\,dy.
Fixando um y dentro da região, das desigualdades temos
x\ge 0
e
x+y\le 1 \Longrightarrow x \le 1-y.
Assim, para um y fixo, x varia entre 0 e 1-y. O intervalo possível para y no triângulo é de 0 a 1. Logo os limites são:
\int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=0}^{1-y} f(x,y)\,dx\right)dy.
Aqui y é a variável externa (vai de 0 a 1) e para cada y fixo x varia de 0 a 1-y.

Passo 5

Fazer um checagem rápida com um exemplo simples ajuda a ganhar confiança: tome f(x,y)=1. Ambas as formas devem dar a área do triângulo, que conhecemos ser \tfrac{1}{2}.
Usando a ordem dy\,dx:
\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1-x} 1\,dy\right)dx = \int_{0}^{1} (1-x)\,dx = \left[x-\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = 1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
Usando a ordem dx\,dy:
\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1-y} 1\,dx\right)dy = \int_{0}^{1} (1-y)\,dy = \left[y-\tfrac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = 1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
As duas formas coincidem, ótimo — os limites estão corretos.

Passo 6

Dica prática para a prova: escolha a ordem que torne a integral interna mais simples (por exemplo, que evite dependência complicada entre x e y no integrando). Para regiões triangulares como esta, as duas ordens costumam ser igualmente simples. Respira fundo: você já conseguiu entender e montar os limites!

Resposta

\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{1-x} f(x,y)\,dy\right)dx
\int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=0}^{1-y} f(x,y)\,dx\right)dy

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