Em cada caso calcule o determinante Jacobiano da transformação dada. x=u^{2} v^{3} \quad y=4-2 \sqrt{u}
Passo 1
O enunciado dá a transformação
x = u^{2} v^{3}
y = 4 - 2\sqrt{u}
e pede para calcular o determinante Jacobiano dessa transformação, ou seja, o valor de
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}.
Informações relevantes que temos:
As expressões explícitas de x e y em função de u e v.
Observação implícita: como aparece \sqrt{u}, precisaremos de u>0 quando usarmos derivadas que envolvem u^{-1/2}.
Passo 2
O que é o determinante Jacobiano num caso 2\times2?
Ele é a determinação da matriz das derivadas parciais das componentes (x,y) em relação às variáveis (u,v). A fórmula é
Explicando: \frac{\partial x}{\partial u} é a taxa de variação de x quando só u muda; \frac{\partial x}{\partial v} é a taxa de variação de x quando só v muda; e os outros dois elementos análogos para y. Para calcular o determinante de uma matriz 2\times2
\begin{vmatrix} a & b \\\ c & d \end{vmatrix}
usamos ad-bc.]
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de x(u,v)=u^{2}v^{3}.
Derivada de x em relação a u, tratando v como constante: aplicamos a regra do poder. A derivada de u^{2} é 2u, então
\frac{\partial x}{\partial u}=2u\,v^{3}.
Derivada de x em relação a v, tratando u como constante: a derivada de v^{3} é 3v^{2}, então
\frac{\partial x}{\partial v}=3u^{2}v^{2}.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de y(u,v)=4-2\sqrt{u}=4-2u^{1/2}.
Derivada de y em relação a u: a constante 4 some; a derivada de u^{1/2} é \tfrac{1}{2}u^{-1/2}. Multiplicando por -2 obtemos