Em cada caso calcule o determinante Jacobiano da transformação dada.
x=u^{2} v^{3} \quad y=4-2 \sqrt{u}

Passo 1

O enunciado dá a transformação
x = u^{2} v^{3}
y = 4 - 2\sqrt{u}
e pede para calcular o determinante Jacobiano dessa transformação, ou seja, o valor de
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}.
Informações relevantes que temos:
  1. As expressões explícitas de x e y em função de u e v.
  2. Observação implícita: como aparece \sqrt{u}, precisaremos de u>0 quando usarmos derivadas que envolvem u^{-1/2}.

Passo 2

O que é o determinante Jacobiano num caso 2\times2?
Ele é a determinação da matriz das derivadas parciais das componentes (x,y) em relação às variáveis (u,v). A fórmula é
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}= \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[6pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}.
Explicando: \frac{\partial x}{\partial u} é a taxa de variação de x quando só u muda; \frac{\partial x}{\partial v} é a taxa de variação de x quando só v muda; e os outros dois elementos análogos para y. Para calcular o determinante de uma matriz 2\times2
\begin{vmatrix} a & b \\\ c & d \end{vmatrix}
usamos ad-bc.]

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de x(u,v)=u^{2}v^{3}.
  • Derivada de x em relação a u, tratando v como constante: aplicamos a regra do poder. A derivada de u^{2} é 2u, então
\frac{\partial x}{\partial u}=2u\,v^{3}.
  • Derivada de x em relação a v, tratando u como constante: a derivada de v^{3} é 3v^{2}, então
\frac{\partial x}{\partial v}=3u^{2}v^{2}.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de y(u,v)=4-2\sqrt{u}=4-2u^{1/2}.
  • Derivada de y em relação a u: a constante 4 some; a derivada de u^{1/2} é \tfrac{1}{2}u^{-1/2}. Multiplicando por -2 obtemos
\frac{\partial y}{\partial u}=-2\cdot\frac{1}{2}u^{-1/2}=-u^{-1/2}=-\frac{1}{\sqrt{u}}.
Lembre-se: esta expressão exige u>0 para estar bem definida.
  • Derivada de y em relação a v: como y não depende de v, temos
\frac{\partial y}{\partial v}=0.

Passo 5

Agora montamos a matriz Jacobiana e calculamos o determinante usando a fórmula ad-bc.
A matriz das derivadas é
\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[6pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2u v^{3} & 3u^{2}v^{2}\\[6pt] - u^{-1/2} & 0 \end{pmatrix}.
Aplicando o determinante,
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}= (2u v^{3})\cdot 0 \;-\; (3u^{2}v^{2})\cdot\big(-u^{-1/2}\big).
O primeiro produto é 0. No segundo, o duplo sinal negativo vira positivo, então
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=3u^{2}v^{2}\,u^{-1/2}.
Simplificando as potências de u:
u^{2}u^{-1/2}=u^{2-\tfrac{1}{2}}=u^{3/2}.
Logo
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=3u^{3/2}v^{2},
válido para u>0.]

Resposta

\boxed{3u^{3/2}v^{2}}

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