Calcule a integral dupla sobre R de (x+y)^{\wedge} 3 dydx, onde R e a regiao delimitada pelas hiperboles H 1: x y=1, H 2: x y=2, e as retas r 1: y=x e r2: y=2 x, no 1 o quadrante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}(x+y)^{3}\,dy\,dx
onde R é a região no primeiro quadrante limitada pelas hipérboles
H_1: xy=1,\quad H_2: xy=2
e pelas retas
r_1: y=x,\quad r_2: y=2x.
O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas, usando variáveis que transformem curvas do tipo xy=\text{constante} e y/x=\text{constante} em retângulos no plano das novas variáveis.

Passo 2

Escolhemos a transformação
u = x\,y,\quad v = \frac{y}{x}.
Nesse caso as curvas se transformam em
u=1,\;u=2,\;v=1,\;v=2,
ou seja, o domínio em (u,v) é o retângulo
1\le u\le2,\quad 1\le v\le2.

Passo 3

Expressamos (x,y) em função de (u,v). Da relação y=vx e u=xy=vx^2 tiramos
x = \sqrt{\frac{u}{v}},\quad y = v\,x = \sqrt{u\,v}.
O Jacobiano é
J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \frac{1}{2\,v}.
Logo
dx\,dy = \frac{1}{2v}\,du\,dv.

Passo 4

O integrando (x+y)^3 em termos de (u,v) fica
x+y = \sqrt{\frac{u}{v}} + \sqrt{u\,v} = \sqrt{\frac{u}{v}}\,(1+v),
(x+y)^3 = u^{\tfrac32}\,v^{-\tfrac32}\,(1+v)^3.
Assim a integral original vira
\iint_{R}(x+y)^3\,dy\,dx = \int_{u=1}^{2}\int_{v=1}^{2} u^{\tfrac32}v^{-\tfrac32}(1+v)^3\;\frac{1}{2v}\,dv\,du.

Passo 5

Separamos as integrais:
\int_{1}^{2}u^{\tfrac32}\,du \;\times\; \int_{1}^{2}\frac{(1+v)^3}{2\,v^{\tfrac52}}\,dv.
Calculamos
\int_{1}^{2}u^{\tfrac32}\,du = \frac{2}{5}\Bigl(2^{\tfrac52}-1\Bigr),
e, expandindo (1+v)^3,
\int_{1}^{2}v^{-5/2}(1+v)^3\,dv = \frac{25\sqrt2}{6}.
Juntando tudo:
\iint_{R}(x+y)^3\,dA = \frac{1}{2}\;\frac{2}{5}\Bigl(2^{5/2}-1\Bigr)\;\frac{25\sqrt2}{6} = \frac{5\sqrt2}{6}\bigl(4\sqrt2-1\bigr) = \frac{40-5\sqrt2}{6}.

Resposta

\frac{40-5\sqrt2}{6}.

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