Calcule a integral dupla sobre
de
dydx, onde
e a regiao delimitada pelas hiperboles
, e as retas
e r2:
, no 1 o quadrante.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região no primeiro quadrante limitada pelas hipérboles
e pelas retas
O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas, usando variáveis que transformem curvas do tipo
e
em retângulos no plano das novas variáveis.
Passo 2
Escolhemos a transformação
Nesse caso as curvas se transformam em
ou seja, o domínio em
é o retângulo
Passo 3
Expressamos
em função de
. Da relação
e
tiramos
O Jacobiano é
Logo
Passo 4
O integrando
em termos de
fica
Assim a integral original vira
Passo 5
Separamos as integrais:
Calculamos
e, expandindo
,
Juntando tudo: