Dada a regiao R contida em R 2, delimitada pelas retas r 1: y=p i / 2, r 2: y=0 e pela parabola cubica y=x^{\wedge} 3, calcule a integral dupla sobre R de y^{\wedge}(2 / 3)^{*} \cos \left(y^{\wedge}(2 / 3)^{*} x\right) dydx.

Passo 1

O enunciado pede
– a região R limitada pelas curvas x=0, y=x^3 e y=\pi/2,
– a integral dupla
\iint_{R}y^{2/3}\cos\bigl(y^{2/3}\,x\bigr)\,dA.
Vamos escrever isso como integral iterada em x e y.

Passo 2

Para cada y entre 0 e \pi/2, x varia de 0 até y^{1/3}. Logo
\iint_{R}y^{2/3}\cos\bigl(y^{2/3}x\bigr)\,dA =\int_{y=0}^{\pi/2}\!\int_{x=0}^{y^{1/3}}y^{2/3}\cos\bigl(y^{2/3}x\bigr)\,dx\,dy.

Passo 3

Integramos primeiro em x, usando \int\cos(a x)\,dx=(1/a)\sin(a x):
\int_{0}^{y^{1/3}}y^{2/3}\cos\bigl(y^{2/3}x\bigr)\,dx =y^{2/3}\left[\frac{\sin\bigl(y^{2/3}x\bigr)}{y^{2/3}}\right]_{0}^{y^{1/3}} =\sin\bigl(y^{2/3}\cdot y^{1/3}\bigr)-0 =\sin(y).

Passo 4

Agora a integral em y fica
\int_{0}^{\pi/2}\sin(y)\,dy =[-\cos(y)]_{0}^{\pi/2} =-\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)+\cos(0) =1.

Resposta

1

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