Qual é a incerteza na velocidade de um elétron ( \Delta v, em m / s ) se desejamos localizá-lo dentro de um átomo de modo que \Delta x \approx 50 \mathrm{pm} ? Dado: massa de elétron, 9,11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}.

Passo 1

O enunciado nos pede a incerteza em velocidade \Delta v de um elétron quando a incerteza de posição é \Delta x \approx 50\,\text{pm}. O conteúdo aqui é o Princípio da Incerteza de Heisenberg, que relaciona \Delta x e \Delta p, com \Delta p = m\,\Delta v. Vamos usar a forma
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2}
onde \hbar é a constante de Planck reduzida.

Passo 2

Escrevendo \Delta p = m\,\Delta v na desigualdade obtemos
\Delta x\,(m\,\Delta v) \ge \frac{\hbar}{2}
Agora basta isolar \Delta v.

Passo 3

Isolando \Delta v:
\Delta v \ge \frac{\hbar}{2\,m\,\Delta x}
Substituindo \hbar = \frac{h}{2\pi}\approx 1{,}055\times10^{-34}\,\text{J\cdots}, m = 9{,}11\times10^{-31}\,\text{kg} e \Delta x = 50\,\text{pm}=50\times10^{-12}\,\text{m}, temos
\Delta v \ge \frac{1{,}055\times10^{-34}}{2 \times 9{,}11\times10^{-31} \times 50\times10^{-12}}

Passo 4

Calculando o denominador:
2 \times 9{,}11\times10^{-31} \times 50\times10^{-12} = 2 \times 9{,}11 \times 50 \times 10^{-43} = 911 \times 10^{-43} = 9{,}11\times10^{-41}
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\Delta v \ge \frac{1{,}055\times10^{-34}}{9{,}11\times10^{-41}} \approx 1{,}16\times10^{6}\,\text{m/s}

Resposta

A incerteza na velocidade é aproximadamente
\Delta v \approx 1{,}2\times10^{6}\,\text{m/s}.

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