Calcule a integral dupla sobre a região indicada:
\iint_{D} 7 y^{3} e^{x^{2}+1} d A \operatorname{com} D a região limitada por y=2 \sqrt[4]{x}, x=9 e o eixo- x.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla
\iint_{D} 7\,y^{3}e^{x^{2}+1}\,dA
sobre a região D limitada pelo gráfico y=2\sqrt[4]{x}, pela reta x=9 e pelo eixo x. O conteúdo é integral dupla em coordenadas cartesianas, montando-a como integral iterada em y e x.

Passo 2

Como a região é do tipo “abaixo do gráfico” e acima de y=0, varre-se x de 0 a 9 e, para cada x, y vai de 0 a 2x^{1/4}. Assim a integral vira
\int_{x=0}^{9}\!\int_{y=0}^{2x^{1/4}}7\,y^{3}e^{x^{2}+1}\,dy\,dx.

Passo 3

No interior podemos tratar e^{x^{2}+1} como constante em relação a y. Calculamos primeiro
\int_{0}^{2x^{1/4}}7\,y^{3}\,dy =7\cdot\frac{(2x^{1/4})^{4}}{4} =\frac{7}{4}\cdot16\,x =28\,x.

Passo 4

Substituindo na integral em x obtemos
\int_{0}^{9}28\,x\,e^{x^{2}+1}\,dx =28\,e\int_{0}^{9}x\,e^{x^{2}}\,dx,
pois e^{x^{2}+1}=e\cdot e^{x^{2}}.

Passo 5

Para \displaystyle\int_{0}^{9}x\,e^{x^{2}}\,dx usamos a substituição
t = x^{2},\quad dt = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \tfrac{1}{2}\,dt,
com t(0)=0 e t(9)=81. Logo
\int_{0}^{9}x\,e^{x^{2}}\,dx =\tfrac{1}{2}\int_{0}^{81}e^{t}\,dt =\tfrac{1}{2}\bigl(e^{81}-1\bigr).

Passo 6

Voltando, a integral total vale
28\,e\cdot\tfrac{1}{2}\bigl(e^{81}-1\bigr) =14\,e\bigl(e^{81}-1\bigr).

Resposta

14\,e\bigl(e^{81}-1\bigr)

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