Calcule a integral dupla invertendo primeiro a ordem de integração:
\int_{0}^{8} \int_{\sqrt[3]{y}}^{2} \frac{y}{x^{7}+1} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{8}\!\int_{\sqrt[3]{y}}^{2}\frac{y}{x^{7}+1}\,dx\,dy
invertendo primeiro a ordem de integração. O conteúdo aqui é a troca de ordem em integrais múltiplas (Teorema de Fubini) e depois resolver uma integral simples por substituição.

Passo 2

Precisamos descrever a região D no plano xy dada por
0 \le y \le 8,\qquad \sqrt[3]{y}\le x\le 2.
Da condição \sqrt[3]{y}\le x segue y\le x^{3}. Como x\le 2, temos x^{3}\le 8. Logo, D também pode ser descrita como
0 \le x \le 2,\qquad 0 \le y \le x^{3}.

Passo 3

Invertendo a ordem de integração sobre D, reescrevemos a integral como
\int_{x=0}^{2}\!\int_{y=0}^{x^{3}}\frac{y}{x^{7}+1}\,dy\,dx.

Passo 4

Dentro dessa integral, integramos em y tratando x como constante:
\int_{0}^{x^{3}}y\,dy =\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{x^{3}} =\frac{(x^{3})^{2}}{2} =\frac{x^{6}}{2}.
Portanto a integral vira
\int_{0}^{2}\frac{1}{x^{7}+1}\,\frac{x^{6}}{2}\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\frac{x^{6}}{x^{7}+1}\,dx.

Passo 5

Para calcular
\int_{0}^{2}\frac{x^{6}}{x^{7}+1}\,dx
fazemos a substituição t = x^{7}+1, de onde dt = 7x^{6}\,dx, ou seja x^{6}\,dx = dt/7. Quando x=0 temos t=1 e quando x=2 temos t=2^{7}+1=129. Assim
\int_{0}^{2}\frac{x^{6}}{x^{7}+1}\,dx =\int_{1}^{129}\frac{1}{t}\,\frac{dt}{7} =\frac{1}{7}\bigl[\ln t\bigr]_{1}^{129} =\frac{1}{7}\ln(129).
Multiplicando pelo fator \tfrac12 restante, obtemos
\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\frac{x^{6}}{x^{7}+1}\,dx =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{7}\ln(129) =\frac{1}{14}\ln(129).

Resposta

\frac{1}{14}\ln(129).

Exercícios relacionados