Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado:
\iint_{R} x^{2} y^{3} e^{x^{3}-y^{4}} d A \quad R=[0,1] \times[-1,0]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
I = \iint_{R} x^{2}y^{3}e^{x^{3}-y^{4}}\,dA
no retângulo R = [0,1]\times[-1,0]. O conteúdo é integração dupla e, como o integrando se escreve como produto de função de x por função de y, vamos usar o Teorema de Fubini e separar em integrais iteradas.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini,
I = \int_{0}^{1}\!\int_{-1}^{0} x^{2}y^{3}e^{x^{3}-y^{4}}\,dy\,dx.
Como x^{2}y^{3}e^{x^{3}-y^{4}} = \bigl(x^{2}e^{x^{3}}\bigr)\cdot\bigl(y^{3}e^{-y^{4}}\bigr), a integral fatoriza:
I = \Bigl(\int_{0}^{1} x^{2}e^{x^{3}}\,dx\Bigr)\;\Bigl(\int_{-1}^{0} y^{3}e^{-y^{4}}\,dy\Bigr).

Passo 3

Calculemos primeiro
A = \int_{0}^{1} x^{2}e^{x^{3}}\,dx.
Fazendo u = x^{3}, temos du = 3x^{2}dx e x^{2}dx = \frac{1}{3}du. Quando x=0\Rightarrow u=0 e x=1\Rightarrow u=1. Logo,
A = \int_{u=0}^{1} e^{u}\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{3}(e - 1).

Passo 4

Agora
B = \int_{-1}^{0} y^{3}e^{-y^{4}}\,dy.
Fazendo v = -\,y^{4}, então dv = -4y^{3}dy e y^{3}dy = -\tfrac{1}{4}dv. Para y=-1\Rightarrow v=-1 e y=0\Rightarrow v=0. Assim,
B = \int_{v=-1}^{0} e^{v}\Bigl(-\tfrac{1}{4}\Bigr)dv = -\tfrac{1}{4}\bigl[e^{v}\bigr]_{-1}^{0} = -\tfrac{1}{4}\bigl(1 - e^{-1}\bigr) = \tfrac{1}{4}\bigl(e^{-1}-1\bigr).

Passo 5

O valor da integral dupla é
I = A \cdot B = \frac{1}{3}(e - 1)\;\cdot\;\frac{1}{4}\bigl(e^{-1}-1\bigr) = \frac{1}{12}\,(e-1)\,(e^{-1}-1).
Fazendo (e-1)(e^{-1}-1) = -\frac{(e-1)^{2}}{e}, obtemos
I = -\frac{(e-1)^{2}}{12\,e}.

Resposta

-\frac{(e-1)^{2}}{12\,e}.

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