Calcule a integral dupla sobre a região indicada:
\iint_{D} e^{1-x^{2}-y^{2}} d A \operatorname{com} D a região no quarto quadrante entre x^{2}+y^{2}=16 e x^{2}+y^{2}=36.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule
\iint_{D} e^{1 - x^{2} - y^{2}}\,dA
em que D é a parte do quarto quadrante limitada pelas circunferências x^{2}+y^{2}=16 e x^{2}+y^{2}=36.
O conteúdo envolvido é troca para coordenadas polares, onde x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e dA = r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Descrevendo D em polares, como estamos no quarto quadrante temos
\theta\in\bigl[-\tfrac{\pi}{2},0\bigr],
e r varia de 4 até 6. Logo
D:\quad 4\le r\le6,\quad -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le0.

Passo 3

Em polares a integranda vira
e^{1 - x^{2}-y^{2}} = e^{1 - r^{2}},
e o elemento de área é dA = r\,dr\,d\theta. Assim a integral fica
\iint_{D} e^{1 - x^{2}-y^{2}}\,dA =\int_{\theta=-\pi/2}^{0}\!\!\int_{r=4}^{6} e^{1 - r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Primeiro fazemos a integral em r. Use a substituição
u = 1 - r^{2}, \quad du = -2r\,dr \quad\Longrightarrow\quad r\,dr = -\tfrac{1}{2}\,du.
Então
\int_{r=4}^{6} e^{1 - r^{2}}\,r\,dr = -\tfrac12\int_{u=1-16}^{\,1-36} e^{u}\,du = -\tfrac12\bigl[e^{u}\bigr]_{u=-15}^{u=-35} = \tfrac12\bigl(e^{-15}-e^{-35}\bigr).

Passo 5

Agora integra em \theta, que é constante em relação a r:
\int_{\theta=-\pi/2}^{0}d\theta = 0 - \bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\tfrac{\pi}{2}.
Multiplicando, o valor da integral dupla é
\frac{\pi}{2}\;\times\;\frac12\bigl(e^{-15}-e^{-35}\bigr) =\frac{\pi}{4}\bigl(e^{-15}-e^{-35}\bigr).

Resposta

\boxed{\frac{\pi}{4}\,\bigl(e^{-15}-e^{-35}\bigr)}.

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