Calcule a integral dupla sobre a região indicada:
\iint_{D} x^{5} \operatorname{sen} y^{4} d A \operatorname{com} D é a região no segundo quadrante limitada por y=3 x^{2}, y=12 e o eixo- y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I=\iint_{D}x^{5}\sin(y^{4})\,dA
onde D está no segundo quadrante ( x\le0,y\ge0) e é limitada pelo eixo y ( x=0), pela parábola y=3x^{2} e pela reta y=12.
O conteúdo usado será integral dupla em coordenadas cartesianas, escolhendo ordem de integração dx\,dy e depois uma substituição em uma integral simples.

Passo 2

Descrevemos a região D fazendo y variar de 0 a 12 e, para cada y, x variar entre a curva à esquerda x=-\sqrt{y/3} (ramo negativo da parábola) e a reta x=0. Assim
D=\bigl\{(x,y)\mid 0\le y\le12,\,-\sqrt{\tfrac y3}\le x\le0\bigr\}.

Passo 3

Montamos a integral dupla na ordem dx\,dy:
I=\int_{y=0}^{12}\!\int_{x=-\sqrt{y/3}}^{0}x^{5}\,\sin\bigl(y^{4}\bigr)\,dx\,dy.

Passo 4

Como \sin(y^{4}) é constante em relação a x, fazemos primeiro
\int_{-\sqrt{y/3}}^{0}x^{5}\sin(y^{4})\,dx =\sin(y^{4})\int_{-\sqrt{y/3}}^{0}x^{5}\,dx =\sin(y^{4}) \Bigl[\tfrac{x^{6}}{6}\Bigr]_{-\sqrt{y/3}}^{0} =-\tfrac{1}{6}\Bigl(-\sqrt{\tfrac y3}\Bigr)^{6}\sin(y^{4}).
Como \bigl(-\sqrt{\tfrac y3}\bigr)^{6}=(y/3)^{3}=y^{3}/27, obtemos
\int_{-\sqrt{y/3}}^{0}x^{5}\sin(y^{4})\,dx =-\frac{y^{3}}{6\cdot27}\,\sin(y^{4}) =-\frac{y^{3}}{162}\,\sin(y^{4}).

Passo 5

Substituindo na integral em y:
I=-\frac{1}{162}\int_{0}^{12}y^{3}\,\sin(y^{4})\,dy.
Fazemos a substituição u=y^{4}, de modo que du=4y^{3}dy, isto é, y^{3}dy=du/4. Quando y=0, u=0; quando y=12, u=12^{4}=20736. Logo
I=-\frac{1}{162}\int_{u=0}^{20736}\sin(u)\,\frac{du}{4} =-\frac{1}{648}\int_{0}^{20736}\sin(u)\,du.

Passo 6

Integramos
\int\sin(u)\,du=-\cos(u),
então
I=-\frac{1}{648}\bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{20736} =\frac{1}{648}\bigl[\cos(20736)-\cos(0)\bigr] =\frac{1}{648}\bigl(\cos(20736)-1\bigr).

Resposta

\displaystyle I=\frac{1}{648}\bigl(\cos(20736)-1\bigr).

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