Calcule a integral dupla sobre a região indicada:
é a região no segundo quadrante limitada por
e o eixo-
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
está no segundo quadrante (
) e é limitada pelo eixo
(
), pela parábola
e pela reta
.
O conteúdo usado será integral dupla em coordenadas cartesianas, escolhendo ordem de integração e depois uma substituição em uma integral simples.
O conteúdo usado será integral dupla em coordenadas cartesianas, escolhendo ordem de integração
Passo 2
Descrevemos a região
fazendo
variar de
a
e, para cada
,
variar entre a curva à esquerda
(ramo negativo da parábola) e a reta
. Assim
Passo 3
Montamos a integral dupla na ordem
:
Passo 4
Como
é constante em relação a
, fazemos primeiro
Como
, obtemos
Passo 5
Substituindo na integral em
:
Fazemos a substituição
, de modo que
, isto é,
. Quando
,
; quando
,
. Logo
Passo 6
Integramos
então