Calcule a integral dupla invertendo primeiro a ordem de integração:
\int_{-4}^{0} \int_{\sqrt{-x}}^{2} x^{-\frac{2}{3}} \sqrt{y^{\frac{5}{3}}+1} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{-4}^{0}\int_{\sqrt{-x}}^{2}x^{-\frac{2}{3}}\sqrt{y^{\frac{5}{3}}+1}\,dy\,dx.
O conteúdo envolve (1) descrever a região de integração em (x,y), (2) inverter a ordem de integração e (3) calcular as integrais simples resultantes, usando antiderivada de potências e substituição.

Passo 2

Primeiro descrevemos a região
R=\bigl\{(x,y)\mid -4\le x\le0,\;\sqrt{-x}\le y\le2\bigr\}.
Da condição y\ge\sqrt{-x} segue -x\le y^2 ou x\ge -y^2. Como também y\le2 e \sqrt{-x}\ge0, concluímos
0\le y\le2,\quad -y^2\le x\le0.
Assim a integral com ordem trocada é
\int_{y=0}^{2}\int_{x=-y^2}^{0}x^{-\frac23}\sqrt{y^{\frac53}+1}\,dx\,dy.

Passo 3

Na expressão acima \sqrt{y^{\tfrac{5}{3}}+1} independe de x, então
\int_{-y^2}^{0}x^{-\frac23}\sqrt{y^{\frac53}+1}\,dx =\sqrt{y^{\frac53}+1}\int_{-y^2}^{0}x^{-\frac23}\,dx.
Para integrar x^{-\tfrac23} usamos
\int x^{m}\,dx=\frac{x^{m+1}}{m+1},\quad m=-\frac23\;\Longrightarrow\;\int x^{-\frac23}\,dx =3x^{\frac13}.
Avaliando de x=-y^2 a x=0 (lembrando que (\\ -y^2)^{1/3}=-y^{2/3}) dá
3\bigl(0^{\frac13}-(-y^2)^{\frac13}\bigr)=3\bigl(0-(-y^{\tfrac23})\bigr)=3y^{\tfrac23}.
Logo a integral dupla reduz a
\int_{0}^{2}3y^{\tfrac23}\sqrt{y^{\tfrac53}+1}\,dy.

Passo 4

Para calcular
\int_{0}^{2}3y^{\tfrac23}\sqrt{y^{\tfrac53}+1}\,dy
fazemos a substituição
t=y^{\tfrac53}+1,\quad dt=\frac{5}{3}y^{\tfrac23}\,dy \;\Longrightarrow\; y^{\tfrac23}\,dy=\frac{3}{5}\,dt.
Quando y=0 temos t=1 e quando y=2 temos t=2^{\tfrac53}+1. A integral vira
3\int_{t=1}^{2^{\tfrac53}+1}\sqrt{t}\,\frac{3}{5}\,dt =\frac{9}{5}\int_{1}^{2^{\tfrac53}+1}t^{\frac12}\,dt.

Passo 5

Para \int t^{\tfrac12}dt usamos antiderivada \tfrac{t^{3/2}}{\tfrac32}=\tfrac{2}{3}t^{3/2}. Assim
\frac{9}{5}\cdot\frac{2}{3}\Bigl[t^{\tfrac{3}{2}}\Bigr]_{1}^{2^{\tfrac53}+1} =\frac{6}{5}\Bigl[(2^{\tfrac53}+1)^{\tfrac32}-1^{\tfrac32}\Bigr] =\frac{6}{5}\Bigl[(1+2^{\tfrac53})^{\tfrac32}-1\Bigr].

Resposta

\frac{6}{5}\Bigl[(1+2^{\tfrac{5}{3}})^{\tfrac{3}{2}}-1\Bigr].

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