(8^{x}) ) Calcule a integral dupla
, onde D é a região limitada pela circunferência
eo
D
eixo
, na metade superior do plano (
).
D
eixo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região limitada pela circunferência
e pelo eixo
na metade superior do plano, isto é, a semicircunferência de raio
com
.\n
Informações dadas importantes:
Informações dadas importantes:
O objetivo é avaliar a integral dupla sobre essa região
.
Passo 2
Por que trocar de coordenadas? Vou explicar didaticamente: quando o integrando e a região são circulares (envolvem
), é muito conveniente usar coordenadas polares. As coordenadas polares são definidas por
onde
é a distância ao origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo. Aqui a curva
vira simplesmente
, ou seja
— muito mais simples.
Passo 3
Área diferencial em polares (Jacobian). Ao trocar de coordenadas, o elemento de área
não é simplesmente
; aparece um fator que corrige a distorção de área. Esse fator é chamado Jacobiano. Intuitivamente, um pequeno retângulo em
tem lados aproximados
e
, então sua área é
. Portanto a fórmula de mudança de variável para integrais duplas é
Passo 4
Reescrever o integrando em polares. Note que
como
. Assim o integrando em polares fica
. Multiplicando pelo Jacobiano
do
, o integrando total (função a ser integrada em
) será
.
Passo 5
Determinar os limites em polares para a região
. A região é a semicircunferência superior de raio
:
-
varia do centro até a circunferência: . -
percorre do eixo positivo até o eixo negativo passando pela metade superior: .
Portanto os limites sãoe .
Passo 6
Escrever a integral dupla em coordenadas polares com os limites:
Expliquei antes:
vem do produto do integrando
pelo Jacobiano
.
Passo 7
Calcular a integral interna em
. A primitiva de
em relação a
é
. Avaliando de
a
:
Passo 8
Calcular a integral externa em
. Como a integral interna deu uma constante
, temos
Passo 9
Verificação rápida de consistência (intuição): a unidade dimensional faz sentido (área vezes distância), e o valor é positivo. A simetria do problema e o uso de polares simplificaram muito a conta: integrando
sobre um setor de raio
e ângulo
obtivemos
.