(8^{x}) ) Calcule a integral dupla ∬ \sqrt{x^{2}+y^{2}} d A, onde D é a região limitada pela circunferência x^{2}+y^{2}=25 eo
D
eixo x, na metade superior do plano ( y \geq 0 ).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA,
onde D é a região limitada pela circunferência x^{2}+y^{2}=25 e pelo eixo x na metade superior do plano, isto é, a semicircunferência de raio 5 com y\ge 0.\n
Informações dadas importantes:
\text{Região }D:\; x^{2}+y^{2}\le 25,\quad y\ge 0.ã
\text{Integrando: }\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
O objetivo é avaliar a integral dupla sobre essa região D.

Passo 2

Por que trocar de coordenadas? Vou explicar didaticamente: quando o integrando e a região são circulares (envolvem x^{2}+y^{2}), é muito conveniente usar coordenadas polares. As coordenadas polares são definidas por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo. Aqui a curva x^{2}+y^{2}=25 vira simplesmente r^{2}=25, ou seja r=5 — muito mais simples.

Passo 3

Área diferencial em polares (Jacobian). Ao trocar de coordenadas, o elemento de área dA não é simplesmente dr\,d\theta; aparece um fator que corrige a distorção de área. Esse fator é chamado Jacobiano. Intuitivamente, um pequeno retângulo em (r,\theta) tem lados aproximados dr e r\,d\theta, então sua área é r\,dr\,d\theta. Portanto a fórmula de mudança de variável para integrais duplas é
dA = r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Reescrever o integrando em polares. Note que
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{r^{2}}=r,
como r\ge 0. Assim o integrando em polares fica r. Multiplicando pelo Jacobiano r do dA, o integrando total (função a ser integrada em dr\,d\theta) será r\cdot r = r^{2}.

Passo 5

Determinar os limites em polares para a região D. A região é a semicircunferência superior de raio 5:
  • r varia do centro até a circunferência: 0\le r\le 5.
  • \theta percorre do eixo x positivo até o eixo x negativo passando pela metade superior: 0\le \theta\le \pi.
    Portanto os limites são r\in[0,5] e \theta\in[0,\pi].

Passo 6

Escrever a integral dupla em coordenadas polares com os limites:
\iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{5} r^{2}\,dr\,d\theta.
Expliquei antes: r^{2} vem do produto do integrando r pelo Jacobiano r.

Passo 7

Calcular a integral interna em r. A primitiva de r^{2} em relação a r é \dfrac{r^{3}}{3}. Avaliando de 0 a 5:
\int_{0}^{5} r^{2}\,dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{5} = \frac{5^{3}}{3}-0 = \frac{125}{3}.

Passo 8

Calcular a integral externa em \theta. Como a integral interna deu uma constante \dfrac{125}{3}, temos
\int_{0}^{\pi} \frac{125}{3}\,d\theta = \frac{125}{3}\cdot \left[\theta\right]_{0}^{\pi} = \frac{125}{3}\cdot \pi = \frac{125\pi}{3}.

Passo 9

Verificação rápida de consistência (intuição): a unidade dimensional faz sentido (área vezes distância), e o valor é positivo. A simetria do problema e o uso de polares simplificaram muito a conta: integrando r^{2} sobre um setor de raio 5 e ângulo \pi obtivemos \dfrac{125\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{125\pi}{3}

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