Determine
para:
Passo 1
O que o exercício pede: determinar
tal que a transformada de Laplace de
é
Informações relevantes dadas no enunciado:
Temos, portanto, duas parcelas em
: uma racional
e outra com fator exponencial
multiplicando a mesma função racional
. A tarefa é obter
.
Passo 2
Vamos inverter a primeira parcela racional
. Método: decompor em frações parciais da forma
Para encontrar
e
multiplicamos ambos os lados por
e obtemos
Isto é uma identidade em
, então podemos comparar coeficientes.
Passo 3
Comparando coeficientes em
Subtraindo a primeira da segunda obtemos
. Assim
Conhecimento usado (mini-aula): a transformada inversa básica é
, onde
é a função degrau (Heaviside). Aplicando isso,
Vou chamar essa parte de
.]
Passo 4
Agora tratamos a parcela com o fator
:
Primeiro invertamos
(sem o fator exponencial). Fazemos frações parciais:
Multiplicando e comparando termos:
Daí
e
. Subtraindo,
e então
. Logo
A transformada inversa é
Passo 5
Mini-aula sobre deslocamento no tempo (teorema do atraso): se
então
ou seja, multiplicar por
no domínio de
corresponde a atrasar a função no tempo em
e multiplicar pelo degrau
(para garantir que a função comece em
). Aqui
.
Passo 6
Aplicando o teorema do atraso à nossa parcela com fator
, e lembrando do fator
, obtemos
Vou chamar essa parte de
.