Determine
para:
Passo 1
O enunciado pede: determinar
tal que
ou seja, encontrar a transformada inversa de Laplace de
.
Informações dadas: o numerador é e o denominador é
.
Pergunta: encontrar explicitamente (presumivelmente para
).
Informações dadas: o numerador é
Pergunta: encontrar explicitamente
Passo 2
Estratégia (a partir do enunciado que dá uma razão racional): vamos decompor
em frações parciais porque isso transforma cada parcela em termos cujas inversas de Laplace conhecemos. Para uma raiz simples em
, uma raiz simples em
e uma raiz dupla em
, a forma geral da decomposição é
Explico por que: para cada fator linear simples
aparece um termo
; para a raiz dupla
precisamos de termos
.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar denominadores e obter uma identidade polinomial:
Esta igualdade deve valer para todo
. Vamos usar escolhas convenientes de
e depois, se necessário, comparar coeficientes.
Passo 4
Encontrar
usando
. Substituindo
na identidade:
Logo
Passo 5
Encontrar
usando
. Substituindo
:
Calculando o lado esquerdo:
. O lado direito é
. Assim
Passo 6
Encontrar
usando
. Substituindo
:
Lado esquerdo:
. Lado direito:
. Portanto
Passo 7
Encontrar
. Já temos
,
,
. Podemos obter
escolhendo um valor conveniente de
que não anule muitos termos; use
. Substituindo
na identidade:
Calculando cada pedaço:
Somando os termos conhecidos:
. Assim
Passo 8
Agora temos todos os coeficientes:
,
,
,
. Escrevemos a decomposição:
Passo 9
Relembrando pares da transformada de Laplace (aqui ensino rapidinho as regras que precisamos):
- Linearidade:
. - Pares básicos úteis:
(Obs.: a fórmula para
vem de diferenciar
em relação a
ou lembrando a transformada de
.)
Passo 10
Aplicando a inversa termo a termo à decomposição e usando linearidade:
Somando tudo, obtemos
para
: