Determine f(t) para:
F(s)=\frac{10 s^{2}+4}{s(s+1)(s+2)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar f(t) tal que
F(s)=\frac{10 s^{2}+4}{s(s+1)(s+2)^{2}}
ou seja, encontrar a transformada inversa de Laplace de F(s).
Informações dadas: o numerador é 10 s^{2}+4 e o denominador é s(s+1)(s+2)^{2}.
Pergunta: encontrar explicitamente f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} (presumivelmente para t\ge 0).

Passo 2

Estratégia (a partir do enunciado que dá uma razão racional): vamos decompor F(s) em frações parciais porque isso transforma cada parcela em termos cujas inversas de Laplace conhecemos. Para uma raiz simples em s=0, uma raiz simples em s=-1 e uma raiz dupla em s=-2, a forma geral da decomposição é
\frac{10 s^{2}+4}{s(s+1)(s+2)^{2}}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{s+2}+\frac{D}{(s+2)^{2}}.
Explico por que: para cada fator linear simples (s-a) aparece um termo \frac{\text{const}}{s-a}; para a raiz dupla (s+2)^{2} precisamos de termos \frac{C}{s+2}+\frac{D}{(s+2)^{2}}.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por s(s+1)(s+2)^{2} para eliminar denominadores e obter uma identidade polinomial:
10 s^{2}+4 = A(s+1)(s+2)^{2} + B\,s\,(s+2)^{2} + C\,s\,(s+1)(s+2) + D\,s\,(s+1).
Esta igualdade deve valer para todo s. Vamos usar escolhas convenientes de s e depois, se necessário, comparar coeficientes.

Passo 4

Encontrar A usando s=0. Substituindo s=0 na identidade:
10\cdot 0^{2}+4 = A(0+1)(0+2)^{2} + \text{(outros termos com fator }s\text{ que anulam)}.
Logo
4 = A\cdot 1 \cdot 2^{2} = 4A \Rightarrow A=1.

Passo 5

Encontrar B usando s=-1. Substituindo s=-1:
10(-1)^{2}+4 = B\cdot (-1)\cdot(-1+2)^{2} \quad(\text{os termos com }(s+1)\text{ anulam}).
Calculando o lado esquerdo: 10\cdot 1 +4 =14. O lado direito é B\cdot(-1)\cdot 1^{2} = -B. Assim
- B = 14 \Rightarrow B = -14.

Passo 6

Encontrar D usando s=-2. Substituindo s=-2:
10(-2)^{2}+4 = D\cdot (-2)\cdot(-2+1) \quad(\text{os termos com }(s+2)\text{ anulam}).
Lado esquerdo: 10\cdot 4 +4 =44. Lado direito: D\cdot(-2)\cdot(-1)=2D. Portanto
2D = 44 \Rightarrow D = 22.

Passo 7

Encontrar C. Já temos A=1, B=-14, D=22. Podemos obter C escolhendo um valor conveniente de s que não anule muitos termos; use s=1. Substituindo s=1 na identidade:
10\cdot 1^{2}+4 = A(1+1)(1+2)^{2} + B\cdot 1\cdot(1+2)^{2} + C\cdot 1\cdot(1+1)(1+2) + D\cdot 1\cdot(1+1).
Calculando cada pedaço:
\text{LHS}=10+4=14.
A(2)(3)^{2} = 1\cdot 2\cdot 9 = 18.
B\cdot 1\cdot 9 = -14\cdot 9 = -126.
C\cdot 1\cdot 2 \cdot 3 = 6C.
D\cdot 1\cdot 2 = 2D = 2\cdot 22 = 44.
Somando os termos conhecidos: 18-126+44 = -64. Assim
14 = -64 + 6C \Rightarrow 6C = 78 \Rightarrow C = 13.

Passo 8

Agora temos todos os coeficientes: A=1, B=-14, C=13, D=22. Escrevemos a decomposição:
\frac{10 s^{2}+4}{s(s+1)(s+2)^{2}}=\frac{1}{s} - \frac{14}{s+1} + \frac{13}{s+2} + \frac{22}{(s+2)^{2}}.

Passo 9

Relembrando pares da transformada de Laplace (aqui ensino rapidinho as regras que precisamos):
  • Linearidade: \mathcal{L}^{-1}\{aF(s)+bG(s)\}=a\,\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}+b\,\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}.
  • Pares básicos úteis: \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-a t},
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+a)^{2}}\right\}=t e^{-a t}.
(Obs.: a fórmula para \frac{1}{(s+a)^{2}} vem de diferenciar \mathcal{L}\{e^{-at}\}=\frac{1}{s+a} em relação a s ou lembrando a transformada de t e^{-at}.)

Passo 10

Aplicando a inversa termo a termo à decomposição e usando linearidade:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{-14}{s+1}\right\}=-14 e^{-t},
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{13}{s+2}\right\}=13 e^{-2t},
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{22}{(s+2)^{2}}\right\}=22\,t\,e^{-2t}.
Somando tudo, obtemos f(t) para t\ge 0:
f(t)=1 - 14 e^{-t} + 13 e^{-2t} + 22\,t\,e^{-2t}.

Resposta

f(t)=1 - 14 e^{-t} + 13 e^{-2t} + 22\,t\,e^{-2t}

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